Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
a, Phương trình có nghiệm khi:
\(\left(m+2\right)^2+m^2\ge4\)
\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2\ge4\)
\(\Leftrightarrow2m^2+4m\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le-2\end{matrix}\right.\)
b, Phương trình có nghiệm khi:
\(m^2+\left(m-1\right)^2\ge\left(2m+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2m^2+6m\le0\)
\(\Leftrightarrow-3\le m\le0\)
2.
a, Phương trình vô nghiệm khi:
\(\left(2m-1\right)^2+\left(m-1\right)^2< \left(m-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1+m^2-2m+1< m^2-6m+9\)
\(\Leftrightarrow4m^2-7< 0\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{7}}{2}< m< \dfrac{\sqrt{7}}{2}\)
b, \(2sinx+cosx=m\left(sinx-2cosx+3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)sinx-\left(2m+1\right)cosx=-3m\)
Phương trình vô nghiệm khi:
\(\left(m-2\right)^2+\left(2m+1\right)^2< 9m^2\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+4m^2+4m+1< 9m^2\)
\(\Leftrightarrow m^2-1>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: sin2x – 2( m- 1)sinx. cosx – (m- 1).cos2x = m
1, Phương trình tương đương
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\dfrac{1}{2}cos2x=1\)
⇔ \(sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1\)
⇔ \(2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+k.2\pi\)
⇔ x = \(\dfrac{\pi}{3}+k.\pi\)
2, \(2cos3x+3sin3x-2\)
= \(\sqrt{13}\)\((\dfrac{2}{\sqrt{13}}cos3x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}sin3x)\) - 2
Do \(\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)^2=1\) nên tồn tại 1 góc a sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}sina=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\\cosa=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\end{matrix}\right.\)
BT = \(\sqrt{13}sin\left(x+a\right)-2\)
Do - 1 ≤ sin (x + a) ≤ 1 với mọi x và a
⇒ \(-\sqrt{13}-2\le BT\le\sqrt{13}-2\)
⇒ \(-5,6< BT< 1,6\)
Vậy BT nhận 5 giá trị nguyên trong tập hợp S = {-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1}
3. \(msinx-cosx=\sqrt{5}\)
⇔ \(\dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}.sinx-\dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}.cosx=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{m^2+1}}\)
⇔ sin(x - a) = \(\sqrt{\dfrac{5}{m^2+1}}\) với \(\left\{{}\begin{matrix}sina=\dfrac{1}{\sqrt{m^2+1}}\\cosa=\dfrac{m}{\sqrt{m^2+1}}\end{matrix}\right.\)
Điều kiện có nghiệm : \(\left|\sqrt{\dfrac{5}{m^2+1}}\right|\le1\)
⇔ m2 + 1 ≥ 5
⇔ m2 - 4 ≥ 0
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\)
\(pt\Leftrightarrow sin2x-sinx-m\left(2cosx-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2cosx-1\right)\left(sinx-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2cosx-1=0\\sinx-m=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\dfrac{1}{2}\\sinx=m\end{matrix}\right.\)
\(cosx=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\).
Trong đoạn \(\left[0;\dfrac{3\pi}{4}\right]\) có hai nghiệm là \(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\).
Nên để hai phương trình \(sin2x-2mcosx=sinx-m\) có hai nghiệm thuộc đoạn \(\left[0;\dfrac{3\pi}{4}\right]\) thì phương trình \(sinx=m\) phải vô nghiệm trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3\pi}{4}\right]\).
Trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3\pi}{4}\right]\) hàm số \(y=sinx\) nhận giá trị trong đoạn \(\left[0;1\right]\) nên phương trình \(sinx=m\)vô nghiệm thì \(m\notin\left[0;1\right]\) hay \(\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>1\end{matrix}\right.\).
a/
\(\left(m+1\right)^2+\left(m-1\right)^2\ge\left(2m+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2m^2+12m+7\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-6-\sqrt{22}}{2}\le m\le\frac{-6+\sqrt{22}}{2}\)
b/ \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\\left(m-1\right)^2+4m\ge m^4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m^4-\left(m+1\right)^2\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\\left(m^2+m+1\right)\left(m^2-m-1\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow0\le m\le\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
c/ \(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\frac{1}{2}=m\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{1}{2}=m\)
Do \(-\frac{1}{2}\le sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le\frac{3}{2}\Rightarrow-\frac{1}{2}\le m\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+2sinx.cosx\right)-2\left(sinx+cosx\right)+2=-m\)
\(\Leftrightarrow\left(sinx+cosx\right)^2-2\left(sinx+cosx\right)+2=-m\)
Đặt \(sinx+cosx=\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=t\Rightarrow-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow t^2-2t+2=-m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2-2t+2\) trên \(\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=1\) ; \(f\left(1\right)=1\) ; \(f\left(-\sqrt{2}\right)=4+2\sqrt{2}\) ; \(f\left(\sqrt{2}\right)=4-2\sqrt{2}>1\)
\(\Rightarrow1\le f\left(t\right)\le4+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(1\le-m\le4+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow-4-2\sqrt{2}\le m\le-1\)