Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)+\frac{m^3}{x-m}\) suy ra tiệm cận xiên của \(\left(C_m\right)\) là đường thẳng d có phương trình \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)
Giả sử d luôn tiếp xúc với Parabol (P) : \(y=ax^2+bx+c;\left(a\ne0\right)\) khi đó phương trình sau có nghiệm bội với mọi m :
\(ax^2+bx+c=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ax^2+\left(b-m-1\right)x+c-m^2-m=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1-b\right)^2-4a\left(c-m^2-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+4a\right)m^2+2\left[\left(1-b\right)+2a\right]m+\left(1-b\right)^2-4ac=0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\begin{cases}1+4a=0\\\left(1-b\right)+2a=0\\\left(1-b\right)^2-4ac=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{1}{2}\\c=-\frac{1}{4}\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
Vậy d luôn tiếp xúc với Parabol (P) \(y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình :
\(y_0=\left(m+1\right)x_0+m^2+m\Leftrightarrow m^2+\left(x_0+1\right)m+x_0-y_0=0\) vô nghiệm với mọi m
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(x_0+1\right)^2-4x_0+4y_0< 0\)
\(\Leftrightarrow y_0< -\frac{1}{4}x_0^2+\frac{1}{2}x_0-\frac{1}{4}\)
Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol
\(\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
5.
\(y'=1-\frac{4}{\left(x-3\right)^2}=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-3=2\\x-3=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=1< 3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
BBT:
Từ BBT ta có \(y_{min}=y\left(5\right)=7\)
\(\Rightarrow m=7\)
3.
\(y'=-2x^2-6x+m\)
Hàm đã cho nghịch biến trên R khi và chỉ khi \(y'\le0;\forall x\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=9+2m\le0\)
\(\Rightarrow m\le-\frac{9}{2}\)
4.
\(y'=x^2-mx-2m-3\)
Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi và chỉ khi \(y'\ge0;\forall x>-2\)
\(\Leftrightarrow x^2-mx-2m-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-3\ge m\left(x+2\right)\Leftrightarrow m\le\frac{x^2-3}{x+2}\)
\(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{x>-2}\frac{x^2-3}{x+2}\)
Xét \(g\left(x\right)=\frac{x^2-3}{x+2}\) trên \(\left(-2;+\infty\right)\Rightarrow g'\left(x\right)=\frac{x^2+4x+3}{\left(x+2\right)^2}=0\Rightarrow x=-1\)
\(g\left(-1\right)=-2\Rightarrow m\le-2\)
2.
\(-x^3+3x^2=k\)
\(y=-x^3+3x^2\)
\(y'=-3x^2+6x\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0,x=2\)
Kẻ bảng biến thiên.
Đường thẳng y = k cắt đồ thị hàm số \(\Leftrightarrow0< k< 2\)
1.
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le1\\x\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{2x+3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x^2-3x+2}}=\infty\Rightarrow x=1\) là TCĐ
\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\frac{2x+3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x^2-3x+2}}=\infty\Rightarrow x=2\) là TCĐ
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x+3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x^2-3x+2}}=2\Rightarrow y=2\) là TCN
Vậy ĐTHS có 3 tiệm cận
3.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}y=\infty\Rightarrow x=0\) là TCĐ
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+2x+9}+\sqrt{1-x}}{x}=-1\Rightarrow y=-1\) là TCN
ĐTHS có 2 tiệm cận
4.
\(\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}y=\infty\Rightarrow x=-2\) là TCĐ
ĐTHS có 1 TCĐ (\(x=-3\) ko thuộc TXĐ của hàm số nên đó ko phải là TCĐ)
Hàm số xác định trên R
Ta có \(y'=x^2-2mx+2m-1\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x^2-2mx+2m-1=0\left(2\right)\)
Hàm số có 2 điểm cực trị dương \(\Leftrightarrow\left(2\right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt :
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=m^2-2m+1>0\\S=2m>0\\P=2m-1>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m>\frac{1}{2}\\m\ne1\end{cases}\)
Vậy \(\begin{cases}m>\frac{1}{2}\\m\ne1\end{cases}\) là giá trị cần tìm
ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le-2\end{matrix}\right.\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-5}f\left(x\right)=\infty\) nên \(x=-5\) là 1 tiệm cận đứng
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x\sqrt{x^2-4}}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}=\frac{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{5}{x}\right)}=1\)
\(\Rightarrow y=1\) là 1 TCN
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\sqrt{x^2-4}}{\left(x-1\right)\left(x+5\right)}=\frac{-\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}{\left(1-\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{5}{x}\right)}=-1\)
\(\Rightarrow y=-1\) là 1 TCN
Vậy ĐTHS đã cho có 3 đường tiệm cận (\(x=1\) ko thuộc TXĐ nên ko phải là TCĐ đâu)
Hàm không có tiệm cận đứng khi: \(x^2-\left(2m+3\right)x+2\left(m-1\right)=0\) có nghiệm \(x=2\)
\(\Rightarrow4-2\left(2m+3\right)+2\left(m-1\right)=0\)
\(\Rightarrow m=-2\)
1.
Để ĐTHS có 2 tiệm cận thì \(m\ne-3\)
Khi đó:
\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{mx-3}{x+1}=m\Rightarrow y=m\) là tiệm cận ngang
\(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\frac{mx-3}{x+1}=\infty\Rightarrow x=-1\) là tiệm cận đứng
Giao điểm 2 tiệm cận có tọa độ \(A\left(-1;m\right)\)
Để A thuộc \(y=x+3\Leftrightarrow m=-1+3\Rightarrow m=2\)
2.
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}=0\Rightarrow y=0\) là 1 TCN
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-4}=\infty\Rightarrow x=2\) là 1 TCĐ
\(x=-2\) ko thuộc TXĐ nên ko phải là tiệm cận
Vậy ĐTHS có 2 tiệm cận
3.
Để ĐTHS có đúng 2 TCĐ \(\Leftrightarrow x^2-mx+5=0\) có 2 nghiệm pb khác 1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-m\ne0\\\Delta=m^2-20>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne6\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\sqrt{5}\\m\le-2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m=\left\{5;-5\right\}\)
Đề bài sai hoặc đáp án sai