Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thấy:
\(\sqrt{\dfrac{1-y}{y}}\times\sqrt{\dfrac{y}{1-y}}=1\left(const\right)\)
=> Ta có thể đặt \(\sqrt{\dfrac{1-y}{y}}=t\left(t\ge0\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{1-y}}=\dfrac{1}{t}\)
~ ~ ~
\(\sqrt{\dfrac{1-y}{y}}=t\)
\(\Rightarrow\dfrac{1-y}{y}=t^2\)
\(\Leftrightarrow1-y=yt^2\)
\(\Leftrightarrow yt^2+y=1\)
\(\Leftrightarrow y\left(t^2+1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{t^2+1}\)
~ ~ ~
\(x=\dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{1}{t}\right)=\dfrac{t^2-1}{2t}\)
\(\Rightarrow x^2+1=\dfrac{\left(t^2-1\right)^2}{4t^2}+1=\dfrac{\left(t^2-1\right)^2+4t^2}{4t^2}=\dfrac{\left(t^2+1\right)^2}{4t^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\left|\dfrac{t^2+1}{2t}\right|=\dfrac{t^2+1}{2t}\left(t\ge0\right)\)
~ ~ ~
\(B=\dfrac{2y\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}-x}\)
\(=\dfrac{2\times\dfrac{1}{t^2+1}\times\dfrac{t^2+1}{2t}}{\dfrac{t^2+1}{2t}-\dfrac{t^2-1}{2t}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{t}}{\dfrac{2}{2t}}=1\)
Với mọi 0 < x < 1 ta có:
\(A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{1-x}+\frac{1}{x}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}{1-x+x}=3+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{\sqrt{2}}{1-x}=\frac{1}{x}=\sqrt{2}+1\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1\)
Kết luận:...
\(\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2}{x}=\dfrac{9x}{2-x}+\dfrac{2-x}{x}+1\ge2\sqrt{\dfrac{9x}{2-x}.\dfrac{2-x}{x}}+1=2.3+1=7\)
GTNN của A là 7 khi x=0,5
\(P=\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x+1\right)}+\frac{1}{x+1}\right).\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}\)ĐK x>=0 x khác -1
=\(\frac{\sqrt{x}+1}{x+1}.\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
b/ x =\(\frac{2+\sqrt{3}}{2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{4}=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{4}=\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
Em thay vào tính nhé!
c) với x>1
A=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.\sqrt{x}=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+2+\frac{2}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}+3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi
A\(\ge2\sqrt{2}+3\)
Xét dấu bằng xảy ra ....
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky với $x>0; 1-x> 0$ ta có:
\(\left(\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\right)[(1-x)+x]\geq (\sqrt{2}+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{1-x+x}=(\sqrt{2}+1)^2\)
Vậy \(y_{\min}=(\sqrt{2}+1)^2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{\sqrt{2}}{1-x}=\frac{1}{x}\Rightarrow x=\sqrt{2}-1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
\(B=\dfrac{1}{2-x}+\dfrac{1}{x}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{2-x+x}=\dfrac{4}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=1\)
p/s Mình nghĩ đề phải là \(0< x\le1\) nhé
áp dụng bunhia
\(\left[\left(\sqrt{\dfrac{2}{1-x}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{1}{x}}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{1-x}\right)^2+\left(\sqrt{x}\right)^2\right]\)
\(\ge\left(\sqrt{\dfrac{2}{1-x}}.\sqrt{1-x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}.\sqrt{x}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{1-x}+\dfrac{1}{x}\right)\left(1\right)\ge\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)^2\)
\(\Rightarrow B\ge\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)
dấu = xảy ra khi \(\dfrac{\dfrac{2}{1-x}}{1-x}=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{x}\Leftrightarrow x=\sqrt{2-1}\)