NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
21 tháng 2 2021
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\frac{4}{a+b+c}=4.\frac{4}{6}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le\frac{-8}{3}\)
\(\Rightarrow M=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow M\le\frac{1}{3}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a+b=c\\a+b+c=6\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\frac{3}{2}\\c=3\end{cases}}}\)
Vậy GTLN của M là 1/3
NC
1 tháng 12 2017
Với 2 số x,y > 0 Theo Cauchy ta có: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\Rightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}^{\left(1\right)}\)
\(P=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=1-\frac{1}{a}+1-\frac{1}{b}+1-\frac{4}{c}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\)
Áp dụng (1) ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\cdot\frac{4}{a+b+c}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b và (a+b)=c hay a=b=1,5 và c=3.
BT
8 tháng 12 2017
\(P=\frac{a-1}{a}+\frac{b-1}{b}+\frac{c-4}{c}=\frac{a}{a}-\frac{1}{a}+\frac{b}{b}-\frac{1}{b}+\frac{c}{c}-\frac{4}{c}\)
=> \(P=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\)(1)
Ta lại có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0< =>a+b-2\sqrt{ab}\ge0=>\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge ab\)
<=> \(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c}\right)\ge4\left(\frac{4}{a+b+c}\right)\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge4\left(\frac{4}{6}\right)=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\)(Do a+b+c=6 theo gt)
Thay vào (1), suy ra:
\(P=3-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\right)\le3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\)
=> GTLL của P là: \(P=\frac{1}{3}\)
Dấu '=' xảy ra khi a=b và a+b=c => c=3; a=b=1,5
11 tháng 6 2015
2) M = (x25 + 1 + 1 + 1 + 1) - 5x5 + 2
Áp dụng BĐT Cô - si cho 5 số dương x25; 1;1;1;1 ta có: x25 + 1 + 1 + 1 + 1 \(\ge\)5.\(\sqrt[5]{x^{25}.1.1.1.1}=x^5\) = 5x5
=> M \(\ge\) 5x5 - 5x5 + 2 = 2
Vậy M nhỏ nhất = 2 khi x25 = 1 => x = 1
ML
11 tháng 6 2015
\(ab=\frac{1}{c};c=\frac{1}{ab}\)
\(a+b+c-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=a+b+\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-ab\)
\(=\left(a+b-ab-1\right)+\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+1\right)\)
\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)\)
\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}{ab}\)
\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(a-1\right)\left(b-1\right)c\)
\(=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
Do biểu thức ban đầu dương nên ta có đpcm
PT
1
CV
19 tháng 3 2019
\(S=\frac{\left(a+b\right)^2-a^2-b^2}{2}+2\left(a+b\right)\)
\(S=\frac{\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-1}{2}\)
\(S=\frac{\left\{\left(a+b\right)-2\right\}^2+5}{2}\)
S>=\(\frac{5}{2}\) xay ra dau = khi va chi khi a+b=2 dua vao day tim a,b
NM
3
TN
3 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\frac{1}{2a-a^2}+\frac{1}{2b-b^2}+\frac{1}{2c-c^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
\(=\frac{9}{2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\frac{9}{2-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{9}{2-\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{5}{3}}=\frac{27}{5}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
I
28 tháng 6 2020
Do \(a\ge1;b\ge1;c\ge1\left(nên\right)\)
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(b-1\right)\left(c-1\right)+\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac+3\ge2\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow a+b+c\le5\)
khi đó \(P=3a+2b+c-1=3\left(a+b+c\right)-\left(b+2c\right)-1\le15-3-1=11\)
dấu = xảy ra khi a=3 , b=c=1
=> GTLN(P)=11
Mặt khác \(\left(a+b\right)\left(a+c\right)=ab+bc+ca+a^2\ge8\)
nên ta có \(P=2\left(a+b\right)\left(a+c\right)-1\ge2\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge2\sqrt{16}-1=7\)
dấu = xảy ra khi a=b=1, c=3
zậy ..