Câu hỏi của Đỗ Hoàng Minh

Question

tìm các số tự nhiên n để $3^n+63$ là số chính phương

Đặng Ngọc Quỳnh · Accepted Answer

giả sử $3^n+63=k^2$

- Nếu n lẻ $\Rightarrow3^n+63\equiv3+63\equiv2\left(mod4\right)\Rightarrow k^2\equiv2\left(mod4\right)$ (loại)

Đặt n=2m ( $m\inℕ$

- Nếu n chẵn $\Rightarrow k^2-3^{2m}=63\Leftrightarrow\left(k-3^m\right)\left(k+3^m\right)=7.9$

Vì $k+3^m=k-3^m\left(mod3\right)\Rightarrow k+3^m,k-3^m$ đều chia hết cho 3

Lại có: $k-3^m< k+3^m\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k-3^m=3\k+3^m=3.7\end{cases}}$

Từ đó tìm đc k=12, m=2 => n=4

Câu trả lời:

giả sử $3^n+63=k^2$

- Nếu n lẻ $\Rightarrow3^n+63\equiv3+63\equiv2\left(mod4\right)\Rightarrow k^2\equiv2\left(mod4\right)$ (loại)

Đặt n=2m ( $m\inℕ$

- Nếu n chẵn $\Rightarrow k^2-3^{2m}=63\Leftrightarrow\left(k-3^m\right)\left(k+3^m\right)=7.9$

Vì $k+3^m=k-3^m\left(mod3\right)\Rightarrow k+3^m,k-3^m$ đều chia hết cho 3

Lại có: $k-3^m< k+3^m\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k-3^m=3\k+3^m=3.7\end{cases}}$

Từ đó tìm đc k=12, m=2 => n=4