Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1 :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=\left|x-1\right|=1-x\)
\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=\left|y-1\right|=1-y\)
\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=\left|z-1\right|=1-z\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
bài 2: ta có : \(Q=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\dfrac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-\left(1-a\right)}\right)\left(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-1}-\dfrac{1}{a}\right).\sqrt{a^2-2a+1}\)
\(\Leftrightarrow Q=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}\sqrt{1-a}+1-a}{\sqrt{1-a}\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}\right)\left(\dfrac{\sqrt{1-a^2}}{a}-\dfrac{1}{a}\right)\left(1-a\right)\) \(\Leftrightarrow Q=\left(\dfrac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}\right)\left(\dfrac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}\right)\left(1-a\right)\) \(\Leftrightarrow Q=\left(\dfrac{\sqrt{1-a^2}+1}{a}\right)\left(\dfrac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}\right)\left(1-a\right)\) \(\Leftrightarrow Q=\left(\dfrac{1-a^2-1}{a^2}\right)\left(1-a\right)=a-1\)b) ta có : \(Q^3-Q=\left(a-1\right)\left(\left(a-1\right)^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a-2\right)\)
mà ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a>0\\a-1< 0\\a-2< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a-2\right)>0\) \(\Rightarrow Q^3-Q>0\Leftrightarrow Q^3>Q\)
vậy \(Q^3>Q\)
Nguyễn Huy TúAkai HarumaLightning FarronNguyễn Thanh Hằngsoyeon_Tiểubàng giảiMashiro ShiinaVõ Đông Anh Tuấn
Hoàng Lê Bảo NgọcTrần Việt Linh
cứu tôi với
xin chân thành cảm ơn
1. pt (1) \(\Leftrightarrow x^2+y^2=19+xy\)
pt (2) \(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=931\)
\(\Leftrightarrow\left(19+xy\right)^2-x^2y^2=931\)
\(\Leftrightarrow361+38xy+x^2y^2-x^2y^2=931\)
\(\Leftrightarrow xy=15\) thay vào (*) tính được \(x^2+y^2=34\)
\(\Rightarrow\) \(x+y=8\)
Có \(xy=15\) và \(x+y=8\) dễ dàng tìm được x và y
2. \(\left(x+2\right)\sqrt{x+1}=2x+1\) (1) với \(x\ge-1\)
Đặt \(\sqrt{x+1}=t\ge0\)
\(\left(1\right)\Rightarrow\left(t^2+1\right)t=2t^2-1\)
\(\Leftrightarrow t^3-2t^2+t+1=0\)
Tuy nhiên pt này ko có nghiệm ko âm nên ko tìm được giá trị của t
Suy ra pt ban đầu vô nghiệm
Câu 1: Đề bài sai, với điều kiện đề bài đã cho thì Q vẫn nguyên tại \(x=0\), đề bài đúng phải là \(\forall x>0\) thì Q không nguyên (ko hiểu sao lại có điều kiện \(x\ne4\) , cái này hoàn toàn ko ảnh hưởng gì tới bài toán)
\(A=Q^2=\frac{x+4\sqrt{x}+4}{x+4}\Leftrightarrow Ax+4A=x+4\sqrt{x}+4\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)x-4\sqrt{x}+4A-4=0\)
\(\Delta'=4-\left(4A-4\right)\left(A-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow=-A^2+2A\ge0\Rightarrow0\le A\le2\Rightarrow A\le2\)
\(\Rightarrow Q\le\sqrt{2}< 2\)
Mặt khác ta có \(\sqrt{x}+2=\sqrt{x}+\sqrt{4}>\sqrt{x+4}\)
\(\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+4}}>1\) \(\Rightarrow1< Q< 2\Rightarrow Q\) không thể nhận giá trị nguyên
Câu 2: ĐKXĐ: \(x\ge-2\)
a/ \(\Leftrightarrow4\left(x^2+2x+3\right)+3\left(x+2\right)=8\sqrt{\left(x+2\right)\left(x^2+2x+3\right)}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{x^2+2x+3}=b>0\end{matrix}\right.\) ta được:
\(3a^2-8ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(3a-2b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\3a=2b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\\3\sqrt{x+2}=2\sqrt{x^2+2x+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^2+7x+10=0\left(vn\right)\\4x^2-x-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{97}}{8}\)
b/ ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge7\\-5\le x\le-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow3x^2-11x-22=7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-5x-14\right)+4\left(x+5\right)-7\sqrt{\left(x^2-5x-14\right)\left(x+5\right)}=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=a\ge0\\\sqrt{x+5}=b\ge0\end{matrix}\right.\) ta được:
\(3a^2-7ab+4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(3a-4b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\3a=4b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-5x-14}=\sqrt{x+5}\\3\sqrt{x^2-5x-14}=4\sqrt{x+5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-6x-19=0\\9x^2-61x-206=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=...\)
Câu 1:
a/ Biểu thức không tồn tại GTNN.
Bạn cứ thử với vài giá trị âm có trị tuyệt đối lớn, ví dụ \(a=-10^3\) và \(b=-\frac{1}{10^3}\) sẽ thấy
b/
\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^2+3y+1+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right]+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1-\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\right]=0\)
\(\Rightarrow x+y=-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-x+\left(-y\right)=2\)
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\left(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\right)\le-\frac{4}{-x+\left(-y\right)}=-\frac{4}{2}=-2\)
\(\Rightarrow M_{max}=-2\) khi \(x=y=-1\)
1c/
\(T=\sum\frac{a}{2a+a+b+c}=\frac{1}{25}\sum\frac{a\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\frac{1}{25}\sum\left(\frac{4a}{2a}+\frac{9a}{a+b+c}\right)\)
\(\Rightarrow T\le\frac{1}{25}\left(6+\frac{9\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\right)=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu 1:ĐkXĐ \(x\ge-\frac{1}{4}\)
\(\left(2\sqrt{x+2}-\sqrt{4x+1}\right)\left(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}\right)=7\)(theo đề ở dưới)
Nhân liên hợp ta có
\(\left(4\left(x+2\right)-4x-1\right)\left(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}\right)=7\left(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\right)\)<=>\(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\)(1)
Đặt \(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=t\left(t\ge0\right)\)
=> \(t^2=8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}\)
=> \(\frac{t^2-8x-9}{4}=\sqrt{4x^2+9x+2}\)
Khi đó (1)
<=> \(2x+3+\frac{t^2-8x-9}{4}=t\)
<=> \(\frac{3}{4}+\frac{t^2}{4}=t\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=3\end{matrix}\right.\)(tm)
+ \(t=1\) => \(\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x-2\)
Mà \(x\ge-\frac{1}{4}\)
=> pt vô nghiệm
+ t=3 => \(\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\9x+2=0\end{matrix}\right.\)
=> \(x=-\frac{2}{9}\)(tmĐKXĐ)
Vậy x=-2/9
Câu 3:
\(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}=\frac{1}{a+b}\)
<=> \(\frac{\left(a+b\right)\left(c+1\right)}{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}=\frac{1}{a+b}\)
<=> \(\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)=ab\left(c^2+1\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
<=> \(2abc+a^2+b^2+ab=abc^2\)
<=> \(\left(a^2+b^2+2ba\right)=ab\left(c^2-2c+1\right)\)
<=> \(\left(a+b\right)^2=ab\left(c-1\right)^2\)
=> ab>0 , ab là bình phương của số hữu tỉ
=> \(c-1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)
=> \(c+1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+2=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{ab}}\)
Khi đó
\(\frac{c-3}{c+1}=1-\frac{4}{c+1}=1-\frac{4\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}\)
Mà \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a-b}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}\)là số hữu tỉ do ab là bình phương của số hữu tỉ
=> \(\frac{c-3}{c+1}\)là bình phương của số hữu tỉ(ĐPCM)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{u^2+2}+u\right)\left(\sqrt{u^2+2}-u\right)=2\\\left(\sqrt{v^2-2v+3}+v-1\right)\left(\sqrt{v-2v+3}-v+1\right)=2\end{cases}}\)
Theo đề bài thì ta có:
\(\left(u+\sqrt{u^2+2}\right)\left(v-1+\sqrt{v^2-2v+3}\right)=2\)
Từ đây ta có hệ:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{u^2+2}-u=\sqrt{v^2-2v+3}+v-1\left(1\right)\\\sqrt{u^2+2}+u=\sqrt{v^2-2v+3}-v+1\left(2\right)\end{cases}}\)
Lấy (1) - (2) ta được: \(u+v=1\)
Ta có: \(u^3+v^3+3uv=1\)
\(\Leftrightarrow3uv+u^2-uv+v^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(u+v\right)^2=1\)(đúng)
\(\Rightarrow\)ĐPCM