Question

[Bạch Nhược Lam]

Tìm các số nguyên x,y biết:

a) 2^x - 2^y = 256 (x,y ∈ N)

b) 3^x + 3^y = 3 (x,y ∈ N)

c) (x - 2)² ≤ 3 (x ∈ R)

d) 2007^x + 2008^y = 2000 (x,y \(\in\) N)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
a)

Ta có: \(2^x-2^y=256=2^8\) (\(\Rightarrow x>y\) )

\(\Leftrightarrow 2^y(2^{x-y}-1)=2^8(*)\)

Vì \(x>y\Rightarrow x-y>0\Rightarrow 2^{x-y}\) chẵn. Do đó \(2^{x-y}-1\) lẻ. Kết hợp với

\((*)\Rightarrow 2^{x-y}-1=1\Leftrightarrow x-y=1\)

Khi đó: \(2^8=2^y(2^{x-y}-1)=2^y(2-1)=2^y\Rightarrow y=8\)

\(\Rightarrow x=y+1=9\)

PT có nghiệm \((x,y)=(9,8)\)

b) Giả sử \(x=y\Rightarrow 3^x+3^y= 2.3^x=3\vdots 2\) (vô lý). Do đó \(x\neq y\)

Không mất tính tổng quát giả sử \(x> y\).

PT tương đương: \(3^y(3^{x-y}+1)=3\) \((**)\)

Vì \(x>y\Rightarrow x-y\geq 1\Rightarrow 3^{x-y}\vdots 3\)

\(\Rightarrow 3^{x-y}+1\not\vdots 3\). Kết hợp với \((**)\Rightarrow 3^{x-y}+1=1\Leftrightarrow 3^{x-y}=0\) (vl)

Do đó PT vô nghiệm.

Answer 2

[Akai Haruma]

Câu c)

\((x-2)^2=3\Leftrightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}x-2=\sqrt{3}\\x-2=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{3}\\x=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Câu d)

Nếu \(y=0\Rightarrow 2007^x=2000-2008^0=1999\Rightarrow x\not\in\mathbb{N}\)

Nếu \(y\geq 1.\)Ta thấy với mọi số tự nhiên \(x\in\mathbb{N}\Rightarrow 2007^x\) lẻ và \(2008^y\) chẵn

\(\Rightarrow 2007^x+2008^y\) lẻ. Mà 2000 là số chẵn, do đó pt vô nghiệm.