Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3 g) \(xyz=x+y+z+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\Sigma_{cyc}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\) .Đặt \(\frac{1}{x+1}=a;\frac{1}{y+1}=b;\frac{1}{z+1}=c\Rightarrow x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a};y=\frac{c+a}{b};z=\frac{a+b}{c}\) vì a + b + c = 1.
Khi đó \(P=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{2a^2+\left(b+c\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{9}+\frac{4}{9}}.\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\left(\sqrt{\frac{2}{9}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{4}{9}}\right)^2\right]\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]}}\)
\(\le\sqrt{\frac{2}{3}}\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{\left[\frac{2}{3}a+\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}c\right]^2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=2\)
3c) Nhìn quen quen, chả biết có lời giải ở đâu hay chưa nhưng vẫn làm:D (Em ko quan tâm nha!)
\(P=3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1}\ge3-\Sigma_{cyc}\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{\left(xy^2\right)^2}}=3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\left(xy^2\right)}\)
\(\ge3-\frac{2}{3}\Sigma_{cyc}\frac{x+y+y}{3}=3-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=3-2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Xí câu BĐT:
ta cần chứng minh \(\dfrac{a^2}{b^2c}+\dfrac{b^2}{c^2a}+\dfrac{c^2}{a^2b}\ge\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT cauchy:
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)
tương tự ta có:\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2;\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế ta có:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
mà a2+b2+c2\(\ge ab+bc+ca\) ( chứng minh đầy đủ nhá)
do đó \(S=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(ab+bc+ca\right)-ab+bc+ca=ab+bc+ca\)
suy ra BĐT ban đầu đúng
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.
P/s: cách khác :Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ca}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
\(S\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)
Câu hệ này =))
b, Từ hệ đã cho ta thấy x,y > 0
Trừ vế cho vế pt (1) và (2) của hệ ta được:
\(x^4-y^4=4y-4x\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)=4\left(y-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) ( Vì \(\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+4>0\) với x,y > 0)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Với x = y thay vào pt đầu của hệ ta được:
\(x^4-4x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\) ( Vì \(x^2+2x+3>0\) )
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với x=1 suy ra y=1
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (1;1)
Cho dễ nhìn thì \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(x+y+z=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=9\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2\)
\(VT=\sum\frac{x}{x^2+2}=\sum\frac{x}{x^2+xy+yz+zx}=\sum\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{4}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(VP=\frac{4}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(z+x\right)}}=\frac{4}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=VT\) (đpcm)
Mới nghĩ ra 3 câu:
a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)
c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)
d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm
Mn giúp e vs ạ! Thanks!
Bài 2:
a: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-x+y-3x-3y=5\\3x-3y+5x+5y=-2\end{matrix}\right.\)
=>-4x-2y=3 và 8x+2y=-2
=>x=1/4; y=-2
b: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{y-1}=1\\\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{y-1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-1=5\\\dfrac{1}{x-2}=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)
=>y=6 và x-2=5/4
=>x=13/4; y=6
c: =>x+y=24 và 3x+y=78
=>-2x=-54 và x+y=24
=>x=27; y=-3
d: \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}-6\sqrt{y+2}=4\\2\sqrt{x-1}+5\sqrt{y+2}=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-11\sqrt{y+2}=-11\\\sqrt{x-1}=2+3\cdot1=5\end{matrix}\right.\)
=>y+2=1 và x-1=25
=>x=26; y=-1
• Vì a, b, c đều dương và a + b + c = 2
nên \(0< a,b,c< 2\)
• Theo gt, ta có:
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=2-a\\\left(b+c\right)^2-2bc=2-a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2-a\right)^2-2+a^2=2bc\)
\(\Rightarrow bc=\dfrac{\left(4-4a+a^2\right)-2+a^2}{2}=\dfrac{2a^2-4a+2}{2}=\left(a-1\right)^2\)
\(\Rightarrow b^2c^2=\left(a-1\right)^4\)
• Ta lại có: \(a\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}=a\sqrt{\dfrac{1+b^2+c^2+b^2c^2}{1+a^2}}\)
\(=a\sqrt{\dfrac{3-a^2+\left(a-1\right)^4}{1+a^2}}=a\sqrt{\dfrac{a^4-4a^3+5a^2-4a-4}{1+a^2}}\)
\(=a\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(a-2\right)^2}{1+a^2}}=a\left(2-a\right)\)
• Tương tự, ta cũng có: \(b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}=b\left(2-b\right)\)
\(c\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}=c\left(2-c\right)\)
• Suy ra \(a\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(a-2\right)^2}{1+a^2}}+b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+a^2\right)}{1+c^2}}\)
\(=2\left(a+b+c\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(đpcm\right)\)
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
@Aki Tsuki
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+c^2=a^2\\2bc=4a+4\left(b+c\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(b+c\right)^2=a^2+4a+4\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-4\left(b+c\right)+4=a^2+4a+4\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-2\right)^2=\left(a+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow b+c-2=a+2\)
\(\Rightarrow a=b+c-4\)
\(\Rightarrow2\left(2b+2c-4\right)=bc\)
\(\Leftrightarrow bc-4b-4c+8=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(c-4\right)-4\left(c-4\right)-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-4\right)\left(c-4\right)=8\)
Pt ước số cơ bản