Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Cả tử số và mẫu số của \(\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}\) đều dẫn đến \(\infty\) nên không thể trả lời ngay biểu thức đó tiến đến giới hạn nào (dạng vô định \(\left(\frac{\infty}{\infty}\right)\)). Tuy nhiên sau khi chia cả tử số và mẫu số cho \(n^2\) :
\(\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}=\frac{7-\frac{3}{n}+\frac{12}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}\)
Ta thấy ngay tử số gần đến 7 và mẫu số gần đến 1 (vì \(\lim\limits\frac{1}{n^p}=0,p\ge1\)
Điều đó cho phép ta áp dụng công thức và thu được kết quả \(\lim\limits\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}=\lim\limits\frac{7-\frac{3}{n}+\frac{12}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}=7\)
b) Áp dụng công thức "Nếu tồn tại \(\lim\limits a^n,k\in\)N* thì tồn tại \(\lim\limits\left(a_n\right)^k=\left(\lim\limits a_n\right)^k\)"
ta có :
\(\lim\limits a_n=\left[\lim\limits\left(\frac{3n^2+n-2}{4n^2+2n+7}\right)\right]^3\)
Mặt khác do \(\lim\limits\frac{3n^2+n-2}{4n^2+2n+7}=\lim\limits\frac{3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}{4+\frac{2}{n}+\frac{7}{n^2}}=\frac{3}{4}\)
nên \(\lim\limits a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}\)
a) \(\lim\limits3=3\) vì \(3\) là hằng số.
Áp dụng giới hạn cơ bản với \(k=2\), ta có:\(\lim\limits\dfrac{1}{n^2}=0\).
b) \(\lim\limits\left(3+\dfrac{1}{n^2}\right)=\lim\limits3+\lim\limits\dfrac{1}{n^2}=3\).
\(a=\lim\dfrac{1}{\sqrt{4n+1}+2\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\infty}=0\)
\(b=\lim n\left(\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}-\sqrt{1-\dfrac{2}{n}}-1\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)
\(c=\lim4^n\left(\sqrt{\left(\dfrac{9}{16}\right)^n-\left(\dfrac{3}{16}\right)^n}-1\right)=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)
\(d=\lim n^3\left(3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)=+\infty.3=+\infty\)
\(\lim\left(\sqrt{4n^2+5n}-2n\right)=\lim\dfrac{5n}{\sqrt{4n^2+5n}+2n}=\lim\dfrac{5}{\sqrt{4+\dfrac{5}{n}}+2}=\dfrac{5}{\sqrt{4+0}+2}=\dfrac{5}{4}\)
\(\lim\left(\sqrt{2n+1}-\sqrt{n}\right)=\lim\sqrt{n}\left(\sqrt{2+\dfrac{1}{n}}-1\right)=+\infty.\left(\sqrt{2}-1\right)=+\infty\) (do \(\sqrt{2}-1>0\))
a/ \(=lim\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\infty}=0\)
b/ \(=lim\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+5n+1}+\sqrt{n^2-n}}=\frac{6+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}=\frac{6}{1+1}=3\)
c/ \(=lim\frac{6n-9}{\sqrt{3n^2+2n-1}+\sqrt{3n^2-4n+8}}=lim\frac{6-\frac{9}{n}}{\sqrt{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{3-\frac{4}{n}+\frac{8}{n^2}}}=\frac{6}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
d/ \(=lim\frac{\left(\frac{2}{6}\right)^n+1-4\left(\frac{4}{6}\right)^n}{\left(\frac{3}{6}\right)^n+6}=\frac{1}{6}\)
e/ \(=lim\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^n-\left(\frac{4}{5}\right)^n+1}{\left(\frac{3}{5}\right)^n+\left(\frac{4}{5}\right)^n-1}=\frac{1}{-1}=-1\)
f/ Ta có công thức:
\(1+3+...+\left(2n+1\right)^2=\left(n+1\right)^2\)
\(\Rightarrow lim\frac{1+3+...+2n+1}{3n^2+4}=lim\frac{\left(n+1\right)^2}{3n^2+4}=lim\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2}{3+\frac{4}{n^2}}=\frac{1}{3}\)
g/ \(=lim\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=lim\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1-0=1\)
h/ Ta có: \(1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
\(\Rightarrow lim\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=lim\frac{2n+1}{6n+12}=lim\frac{2+\frac{1}{n}}{6+\frac{12}{n}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
a) \(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {3 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 3 + \lim \frac{1}{n} = 3 + 0 = 3\\\lim {v_n} = \lim \left( {5 - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim 5 - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 5 - 0 = 5\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 3 + 5 = 8\\\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 3 - 5 = - 2\\\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 3.5 = 15\\\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{5}\end{array}\)
\(\lim\dfrac{\left(2n-1\right)\left(3n^2+2\right)^3}{-2n^5+4n^3-1}=\lim\dfrac{\left(\dfrac{2n-1}{n}\right)\left(\dfrac{3n^2+2}{n^2}\right)^3}{\dfrac{-2n^5+4n^3-1}{n^7}}\)
\(=\lim\dfrac{\left(2-\dfrac{1}{n}\right)\left(3+\dfrac{2}{n^2}\right)^3}{-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{4}{n^4}-\dfrac{1}{n^7}}=-\infty\)
\(\lim3^n\left(6.\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-5+\dfrac{7n}{3^n}\right)=+\infty.\left(-5\right)=-\infty\)
a/ \(=lim\frac{3\left(\frac{2}{7}\right)^n-8}{4.\left(\frac{3}{7}\right)^n+5}=-\frac{8}{5}\)
b/ \(=lim\frac{6.4^n-\frac{2}{9}.6^n}{\frac{1}{2}.6^n+4.3^n}=lim\frac{6\left(\frac{4}{6}\right)^n-\frac{2}{9}}{\frac{1}{2}+4.\left(\frac{3}{6}\right)^n}=\frac{-\frac{2}{9}}{\frac{1}{2}}=-\frac{4}{9}\)
c/ \(=lim\frac{\left(-\frac{3}{5}\right)^n+2}{\left(\frac{1}{5}\right)^n-1}=\frac{2}{-1}=-2\)
d/ \(=lim\frac{n\left(n+1\right)}{2\left(n^2+n+1\right)}=lim\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}=\frac{1}{2}\)
\(a=lim\frac{n^2+n}{6n^3}=lim\frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}}{6}=\frac{0}{6}=0\)
\(b=lim\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}+lim\frac{sinn}{2^n}=1+0=1\)
Giải thích: \(-1\le sin\left(n\right)\le1\) \(\forall n\Rightarrow\frac{-1}{2^n}\le\frac{sin\left(n\right)}{2^n}\le\frac{1}{2^n}\)
Mà \(lim\frac{-1}{2^n}=lim\frac{1}{2^n}=0\Rightarrow lim\frac{sin\left(n\right)}{2^n}=0\) theo nguyên tắc giới hạn kẹp
\(c=lim\frac{-3n-1}{\sqrt{n^2-3n}+\sqrt{n^2+1}}=lim\frac{-3-\frac{1}{n}}{\sqrt{1-\frac{3}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{-3}{1+1}=-\frac{3}{2}\)
\(d=lim\frac{3n^2}{\sqrt[3]{\left(n^3+3n^2\right)^2}+n\sqrt[3]{n^3+3n^2}+n^2}=lim\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{3}{n}\right)^2}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{n}}+1}=\frac{3}{1+1+1}=1\)
a) Đặt \({u_n} = 2 + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} \Leftrightarrow {u_n} - 2 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\).
Suy ra \(\lim \left( {{u_n} - 2} \right) = \lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\)
Theo định nghĩa, ta có \(\lim {u_n} = 2\). Vậy \(\lim \left( {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right) = 2\)
b) Đặt \({u_n} = \frac{{1 - 4n}}{n} = \frac{1}{n} - 4 \Leftrightarrow {u_n} - \left( { - 4} \right) = \frac{1}{n}\).
Suy ra \(\lim \left( {{u_n} - \left( { - 4} \right)} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\).
Theo định nghĩa, ta có \(\lim {u_n} = - 4\). Vậy \(\lim \left( {\frac{{1 - 4n}}{n}} \right) = - 4\)