Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(P=\frac{a^2}{ab+2ca}+\frac{b^2}{bc+2ab}+\frac{c^2}{ca+2bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge1\)
Cộng thêm giả thiết abc=1, suy ra dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(abc+a+c=b\Leftrightarrow ac+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=1\)
\(\Rightarrow\) tồn tại 1 tam giác nhọn ABC sao cho: \(\left\{{}\begin{matrix}a=tan\frac{A}{2}\\\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2}\\c=tan\frac{C}{2}\end{matrix}\right.\)
Đặt vế trái của biểu thức là P, ta có:
\(P=\frac{2}{1+tan^2\frac{A}{2}}-\frac{2}{1+\frac{1}{tan^2\frac{B}{2}}}+\frac{3}{1+tan^2\frac{C}{2}}=2cos^2\frac{A}{2}-2sin^2\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}\)
\(=cosA+cosB+3cos^2\frac{C}{2}=2cos\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}\)
\(=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}-3sin^2\frac{C}{2}-\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+3\)
\(=-3\left(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}cos\frac{A-B}{2}\right)^2+\frac{1}{3}cos^2\frac{A-B}{2}+3\le0+\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}\)
\(a,b,c\)theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(a-b=b-c\).
\(d\)là công sai của cấp số cộng.
Nếu \(d=0\)dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Nếu \(d\ne0\):
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-b}\)
\(=\frac{a-c}{\left(a-b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)
<br class="Apple-interchange-newline"><div></div>a,b,ctheo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a−b=b−c.
dlà công sai của cấp số cộng.
Nếu d=0dễ dàng thấy đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Nếu d≠0:
1√a+√b +1√b+√c =√a−√ba−b +√b−√cb−c =√a−√ca−b
=a−c(a−b)(√a+√c) =2√a+√c
Theo bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{b^2+1}\ge a+1-\frac{\left(a+1\right)b^2}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Làm tương tự có hai bất đẳng thức với \(\frac{b+1}{c^2+1}\)và \(\frac{c+1}{a^2+1}\)sau đó cộng lại ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\left(a+1-\frac{ab+b}{2}\right)+\left(b+1-\frac{bc+c}{2}\right)+\left(c+1-\frac{ca+a}{2}\right)\)
\(=3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\).
Nếu ta chứng minh được \(a+b+c-ab-bc-ca\ge0\)ta sẽ có đpcm.
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca\).
Do đó ta có đpcm.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si liên tục 2 lần ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b-c\right)+\left(b+c-a\right)}{2}}=\frac{2}{\frac{2b}{2}}=\frac{2}{b}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta được :
\(2\cdot\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Hay ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác ABC đều
Lời giải:
Từ $a+b+c=2; \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=2,5$
$\Rightarrow (a+b+c)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=5$
\(\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c}=5\)
\(\Leftrightarrow \frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=5\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=2\)
Khi đó:
\(A=\frac{a-(b+c)}{b+c}+\frac{b-(c+a)}{c+a}+\frac{c-(a+b)}{a+b}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}-3\)
\(=2-3=-1\)
Vậy $A=-1$
Câu 1.
\(y = \dfrac{{n + \sin 2n}}{{n + 5}} = \dfrac{{\dfrac{n}{n} + \dfrac{{\sin 2n}}{n}}}{{\dfrac{n}{n} + \dfrac{5}{n}}} = \dfrac{{1 + \dfrac{{2.\sin 2n}}{{2n}}}}{{1 + \dfrac{5}{n}}}\\ \Rightarrow \lim y = \dfrac{{1 + 0}}{{1 + 0}} = 1 \)
Câu 2.
\(\lim \dfrac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}}\)
Vì \( - 1 \le \sin n \le 1; - 1 \le \cos n \le 1 \Rightarrow \) khi \(x \to \infty \) thì \(3\sin n + 4{\mathop{\rm cosn}\nolimits} = const \)
\(\Rightarrow T = \lim \dfrac{{3\sin n + 4\cos n}}{{n + 1}} = 0 \)
Chú thích: $const$ là kí hiệu hằng số, giống như dạng giới hạn L/vô cùng.