Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x-a+b=0\Leftrightarrow x=a-b\)
\(x+2a-b-1=0\Leftrightarrow x=-2a+b+1\)
Nếu \(a-b< -2a+b+1\Leftrightarrow3a-2b< 1\)thì bất phương trình:
\(\left(x-a+b\right)\left(x+2a-b-1\right)\le0\) có tập nghiệm là:
\(a-b\le x\le-2a+b+1\).
Nếu \(a-b>-2a+b+1\Leftrightarrow3a-2b>1\) thì bất phương trình:
\(\left(x-a+b\right)\left(x+2a-b-1\right)\le0\) có nghiệm là:
\(-2a+b+1< x< a-b\).
- Do b > -1 nên BPT \(\left|x+a-2\right|\le b+1\) có nghiệm là:
\(-a-b+1\le x\le b-a+3\)
- Ta xét hai trường hợp:
TH1: \(3a-2b< 1\)
Hai BPT tương đương khi \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=-a-b-1\\-2a+b+1=b-a+3\end{matrix}\right.\) (vô nghiệm).
TH2: \(3a-2b>1\)(*)
Hai BPT tương đương khi: \(\left\{{}\begin{matrix}-2a+b+1=-a-b+1\\a-b=b-a+3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn * )
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) thì hai BPT tương đương.
\(\left(x-a+b\right)\left(x+2a-b-1\right)\le0\)(1)
\(\left|x+a-2\right|\le b+1\) (2)
Lời giải (khác)
\(b>-1\Leftrightarrow b+1>0\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x+a-2\right)^2\le\left(b+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+a-2\right)^2-\left(b+1\right)^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(x+a-2\right)-\left(b+1\right)\right]\left[\left(x+a-2\right)+\left(b+1\right)\right]\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+a-b-3\right)\left(x+a+b-1\right)\le0\)
Để \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2\right)\Rightarrow\) a,b cần thỏa mãn :
\(\left[{}\begin{matrix}\left(I\right)\left\{{}\begin{matrix}-a+b=a-b-3\\2a-b-1=a+b-1\end{matrix}\right.\\\left(II\right)\left\{{}\begin{matrix}-a+b=a+b-1\\2a-b-1=a-b-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
(I)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2a-2b=3\\a-2b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
(II)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2a=-1\\a=-3\end{matrix}\right.\) vô No
Kết luận
Cặp a,b duy nhất thủa mãn là: (a,b)=(3,3/2)
\(\begin{cases}\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\\x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\end{cases}\) (1)
Xét các bất phương trình thành phần
\(\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\ge0\) (a)
\(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\le0\) (b)
Ta có T(1)=T(a)\(\cap\) T(b)
Lập bảng xét dấy
\(f\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x-2\right)\)
| x | -\(\infty\) -1 1 2 +\(\infty\) |
| f(x) | - 0 + 0 - 0 + |
Từ bảng xét dấu ta được T(a) = \(\left[-1;1\right]\cup\left[2;+\infty\right]\)
Từ : \(x^2-\left(3a+1\right)x+a\left(2a+1\right)\) ta có các nghiệm x= a; x=2a+1
- Nếu \(a\le2a+1\Leftrightarrow a\ge-1\) thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)
Xét các trường hợp sau :
+ Trường hợp 1 :
\(\begin{cases}-1\le a\le1\\-1\le2a+1\le1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1\le a\le1\\0\le a\le0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(-1\le a\le0\)
Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)
+ Trường hợp 2
\(\begin{cases}-1\le a\le1\\1<2a+1<2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1\le a\le1\\a\in\left\{0;\frac{1}{2}\right\}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(-1\le a\le0\)
Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\)
+ Trường hợp 3
\(\begin{cases}-1\le a\le1\\2\le2a+1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1\le a\le1\\\frac{1}{2}\le a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{2}\le a\le1\)
Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)
+ Trường hợp 4
1<a<2 suy ra 2a+1>3>2. Khi đó ta có Ta có T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[2;2a+1\right]\)
+ Trường hợp 5 :
a\(\ge\)2 suy ra 2a+1 \(\ge\) a \(\ge\) 2. Khi đó T(a)\(\cap\) T(b)= \(\left[a;2a+1\right]\)
- Nếu 2a+1<a \(\Leftrightarrow\) a<-1 thì T(b) = \(\left[a;2a+1\right]\)
Khi đó ta có T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\) nên (1) vô nghiệm
Từ đó ta kết luận :
+ Khi a<-1 hệ vô nghiệm T(1) =\(\varnothing\)
+ Khi \(-1\le a\le0\) hoặc \(a\ge2\) hệ có tập nghiệm T (1) = \(\left[a;2a+1\right]\)
+ Khi 0<a<\(\frac{1}{2}\) hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\)
+ Khi \(\frac{1}{2}\)\(\le\)a \(\le\)1 hệ có tập nghiệm T(1) = \(\left[a;1\right]\cup\left[2;2a+1\right]\)
+ Khi 1<a<2, hệ có tập nghiệm T(1) =\(\left[2;2a+1\right]\)
a)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\ge\dfrac{1}{4}\left(1\right)\\x^2-x\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)x^2-0,25\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-\dfrac{1}{2}\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
(2)\(x^2-x\le\) \(\Leftrightarrow0\le x\le1\)
Kết hợp (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\le x\le1\)
b)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(2x+3\right)>0\left(1\right)\\\left(x-4\right)\left(x+\dfrac{1}{4}\right)\le0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Giải: \(\left(1\right)\left(x-1\right)\left(2x+3\right)>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -\dfrac{3}{2}\\x>1\end{matrix}\right.\)
Giải: (2) \(\left(x-4\right)\left(x+\dfrac{1}{4}\right)< 0\Leftrightarrow-\dfrac{1}{4}\le x\le4\)
Kết hợp điều kiện của (1) và (2) ta có: (1;4] là nghiệm của hệ bất phương trình.
\(x^2-6x+5\le0\Leftrightarrow1\le x\le5\)
Hệ đã cho có nghiệm khi \(f\left(x\right)=x^2-2\left(a+1\right)x+a^2+1\le0\) có nghiệm thuộc \(\left[1;5\right]\)
\(\Delta'=\left(a+1\right)^2-a^2-1=2a\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=0\\a+1\in\left[1;5\right]\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\a+1\in\left[1;5\right]\end{matrix}\right.\) thỏa mãn
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\\left[{}\begin{matrix}f\left(1\right)\le0\\f\left(5\right)\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\left[{}\begin{matrix}a^2-2a\le0\\a^2-10a+16\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le a\le8\)
ĐKXĐ: \(-4\le x\le6\)
Do \(\sqrt{\left(x+4\right)\left(6-x\right)}\ge0\Rightarrow2\left(x+1\right)\ge0\Rightarrow x\ge-1\)
Khi đó, bình phương 2 vế ta được:
\(\left(x+4\right)\left(6-x\right)\le4\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow-x^2+2x+24\le4x^2+8x+4\)
\(\Rightarrow5x^2+6x-20\ge0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le\frac{-3-\sqrt{109}}{5}\\x\ge\frac{-3+\sqrt{109}}{5}\end{matrix}\right.\)
Kết hợp điều kiện \(-4\le x\le6\) và \(-1\le x\) ta được: \(\frac{-3+\sqrt{109}}{5}\le x\le6\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2a+3b=21\)
Vì phương trình \(\left(x-2a+b-1\right)\left(x+a-2b+1\right)=0\) có hai nghiệm là: \(x=2a-b+1;x=-a+2b-1\).
Ta xét hai trường hợp:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}2a-b+1=0\\-a+2b-1=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\).
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}2a-b+1=2\\-a+2b-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(a,b\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)\) hoặc \(\left(a,b\right)=\left(1;1\right)\) thì BPT có tập nghiệm là đoạn [0;2].