Câu hỏi của Phạm Xuân Bách

Question

Tìm 5 chữ số tân cùng của số Fermat F₂₄ = 2²^{^24} + 1 (Casio)

pls help!

Trần Phương Thảo · Accepted Answer

Bài toán này tương đương với: tìm số dư khi chia $F_{24}=2^{2^{24}}+1chia10^5$

Ta có nhận xét:

1) $2^{2^{n+1}}=2^{2^n}\times2^{2^n}$

2) $2^{2^n}\equiv a\left(mod10^5\right)\Rightarrow2^{2^{n+1}}\equiv a^2\left(mod10^5\right)$

Từ đây ta có thể tính đồng dư của $2^{2^n}theo\left(mod10^5\right)$ như sau (tính máy tính)

$2^{2^1}\equiv4$ , $2^{2^2}\equiv16$ , , $2^{2^3}\equiv256$

$2^{2^4}\equiv65536$ , ....... , $2^{2^{24}}\equiv97536$

Vậy $F_{24}=2^{2^{24}}+1=97536+1$. Năm chữ số cuối cùng $F_{24}=2^{2^{24}}+1$ là 97537

(CHÚ THÍCH : mod là phép chia lấy phần dư ví dụ Cho hai số dương, (số bị chia) a và (số chia) n, a modulo n (viết tắt là a mod n) là số dư của phép chia có dư Euclid của a cho n. Ví dụ, biểu thức "5 mod 2" bằng 1 vì 5 chia cho 2 có thương số là 2 là số dư là 1, ta có thể viết 5$\equiv$1mod2 )

CHO CHỊ XIN 1TÍCH NHA :))

Câu trả lời:

Bài toán này tương đương với: tìm số dư khi chia $F_{24}=2^{2^{24}}+1chia10^5$

Ta có nhận xét:

1) $2^{2^{n+1}}=2^{2^n}\times2^{2^n}$

2) $2^{2^n}\equiv a\left(mod10^5\right)\Rightarrow2^{2^{n+1}}\equiv a^2\left(mod10^5\right)$

Từ đây ta có thể tính đồng dư của $2^{2^n}theo\left(mod10^5\right)$ như sau (tính máy tính)

$2^{2^1}\equiv4$ , $2^{2^2}\equiv16$ , , $2^{2^3}\equiv256$

$2^{2^4}\equiv65536$ , ....... , $2^{2^{24}}\equiv97536$

Vậy $F_{24}=2^{2^{24}}+1=97536+1$. Năm chữ số cuối cùng $F_{24}=2^{2^{24}}+1$ là 97537

(CHÚ THÍCH : mod là phép chia lấy phần dư ví dụ Cho hai số dương, (số bị chia) a và (số chia) n, a modulo n (viết tắt là a mod n) là số dư của phép chia có dư Euclid của a cho n. Ví dụ, biểu thức "5 mod 2" bằng 1 vì 5 chia cho 2 có thương số là 2 là số dư là 1, ta có thể viết 5$\equiv$1mod2 )

CHO CHỊ XIN 1TÍCH NHA :))

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP