Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{3}{2}\\y\ge\frac{3}{2}\end{cases}}\)
Xét y = 0 => PT vô nghiệm
Xét y khác 0:
Ta có: \(x^3+y^3-8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+7x^2y+7xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)=8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^3+y^3\right)}{y^3}+\frac{7xy\left(x+y\right)}{y^3}=\frac{8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{y^3}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^3+1+7\cdot\frac{x}{y}\cdot\left(1+\frac{x}{y}\right)=8\cdot\frac{x}{y}\cdot\sqrt{2+2\left(\frac{x}{y}\right)^2}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t>0\) khi đó: \(PT\Leftrightarrow t^3+1+7t\left(1+t\right)=8t\sqrt{2\left(1+t^2\right)}\)
\(=\left[8t\sqrt{2\left(1+t\right)^2}-8t\left(t+1\right)\right]+8t\left(t+1\right)\)
\(\Leftrightarrow t^3-t^2-t+1=8t\cdot\frac{2\left(1+t^2\right)-\left(t+1\right)^2}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow t^2\left(t-1\right)-\left(t-1\right)=8t\cdot\frac{2+2t^2-t^2-2t-1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)=8t\cdot\frac{\left(t-1\right)^2}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left[t+1-\frac{1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}\right]=0\)
Mà \(t+1-\frac{1}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}=\frac{t\left(\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1\right)+\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t}{\sqrt{2\left(1+t^2\right)}+t+1}>0\)
\(\Rightarrow t-1=0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow\frac{x}{y}=1\Rightarrow x=y\)
Khi đó \(\sqrt{y}-\sqrt{2x-3}+2x=6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-\sqrt{2x-3}=6-2x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-2x+3}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\left(3-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-x}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\left(3-x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(2-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}\right)=0\)
Nếu \(2-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}}=2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{2x-3}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{\frac{13}{2}-2x}{2}\) (CMT)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}=13-4x\)
\(\Leftrightarrow16x=169-104x+16x^2\)
\(\Leftrightarrow16x^2-120x+169=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=\frac{15+2\sqrt{14}}{4}\\x=y=\frac{15-2\sqrt{14}}{4}\end{cases}}\)
Nếu \(x-3=0\Rightarrow x=y=3\)
Vậy ta có 3 cặp số (x;y) thỏa mãn: ...
Thử lại ta thấy cặp nghiệm vô tỉ:
\(x=y=\frac{15\pm2\sqrt{14}}{4}\) không thỏa mãn nên ta chỉ có 1 cặp nghiệm thỏa mãn:
\(x=y=3\)
1)\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{x-y-1}=1\\y^2+x+2y\sqrt{x}-y^2x=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2=x-y-1\\\left(y+\sqrt{x}\right)^2-y^2x=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2\sqrt{x}+1=x-y-1\\\left(y+\sqrt{x}-y\sqrt{x}\right)\left(y+\sqrt{x}+y\sqrt{x}\right)=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\sqrt{x}-y=2\\\left(y+\sqrt{x}-y\sqrt{x}\right)\left(y+\sqrt{x}+y\sqrt{x}\right)=0\end{cases}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=a\left(\ge0\right)\\y=b\end{cases}}\)
=> hệ phương trình \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-b=2\\\left(b+a-ab\right)\left(b+a+ab\right)=0\end{cases}}\)
Tham khảo nhé~
\(1,\hept{\begin{cases}x+\frac{3x-y}{x^2+y^2}=3\left(1\right)\\y-\frac{x+3y}{x^2+y^2}=12\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)-\left(2\right)\Leftrightarrow x-y+\frac{4x-4y}{x^2+y^2}=-9\)
Bn có nhầm đâu ko thế trừ thì đổi dấu thành \(\frac{3x-y}{x^2+y^2}+\frac{x+3y}{x^2+y^2}=\frac{4x+2y}{x^2+y^2}\)
\(ĐK:x\ge1\)
Pt (1) <=> \(y^2-y\sqrt{x-1}-y+\sqrt{x-1}=0\)
<=> \(\left(y^2-y\right)-\left(y\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=0\right)\)
<=> \(y\left(y-1\right)-\sqrt{x-1}\left(y-1\right)=0\)
<=> \(\left(y-1\right)\left(y-\sqrt{x-1}\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y-1=0\\y-\sqrt{x-1}=0\end{cases}}\)
+) Với y-1=0 <=> y=1
Thế vào phương trình thứ (2) ta có: \(x^2+1-\sqrt{7x^2-3}=0\Leftrightarrow7x^2+7-7\sqrt{7x^2-3}=0\)
Đặt \(\sqrt{7x^2-3}=t\left(t\ge0\right)\)
Ta có phương trình ẩn t:
\(t^2-7t+10=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=2\\t=5\end{cases}}\)
Với t =2 ta có: \(\sqrt{7x^2-3}=2\Leftrightarrow7x^2-3=4\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(tm\right)\\x=-1\left(l\right)\end{cases}}\)
Với t=5 ta có: \(\sqrt{7x^2-3}=5\Leftrightarrow7x^2-3=25\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(tm\right)\\x=-2\left(l\right)\end{cases}}\)
Vậy hệ có 2nghiem (x,y) là (2,1) và (1, 1)
+) Với \(y-\sqrt{x-1}=0\Leftrightarrow y=\sqrt{x-1}\)
Thế vào phương trình (2) ta có:
\(x^2+\sqrt{x-1}-\sqrt{7x^2-3}=0\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)+\left(x^2+1-\sqrt{7x^2-3}\right)=0\)
<=> \(\frac{\left(x-1\right)-1}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{x^4+2x^2+1-7x^2+3}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}=0\Leftrightarrow\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{x^4-5x^2+4}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}=0\)
<=> \(\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}=0\)
<=> \(\left(x-2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}\right)=0\)
vì \(\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)}{x^2+1+\sqrt{7x^2-3}}>0\)với mọi lớn hơn hoặc bằng 1
phương trình trên <=> x-2=0<=> x=2 thỏa mãn đk
Với x=2 ta có: \(y=\sqrt{2-1}=1\)
Hệ có 1nghiem (2,1)
Kết luận:... (2, 1), (1,1)