Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được
\(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta lại có \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
Do đó ta được \(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
p/s: check
có cả mấy bất đẳng thức đó hả
bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs
mk thanks
\(VT=2\Sigma_{cyc}a^2b+\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab^2}=\Sigma\left(a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\right)\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
bài này được liệt vào câu hỏi hay nhưng mk cũng chưa nghĩ ra
Do \(ab+bc+ac=3abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số \(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{3}{c}\) , ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}+\frac{9}{3c}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+2b+3c}=\frac{36}{a+2b+3c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+2b+3c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\left(1\right)\)
CMTT , ta có : \(\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\); \(\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 )
\(\Rightarrow F\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\)
\(=\frac{1}{36}.6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{6}.3=\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Ta có \(\frac{\sqrt{ab^2c^3}}{b+c}\le\frac{\sqrt{ab^2c^3}}{2\sqrt{bc}}=\frac{1}{2}.\sqrt{ac.bc}\)
Mà \(\frac{1}{2}\sqrt{ac.cb}\le\frac{1}{4}\left(ac+cb\right)\)\(\Rightarrow\frac{\sqrt{ab^2c^3}}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(ac+bc\right)\)
Tương tự cộng lại, ta có
\(\frac{\sqrt{ab^2c^3}}{b+c}+\frac{\sqrt{bc^2a^3}}{c+a}+\frac{\sqrt{ca^2b^3}}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
Mà \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\Rightarrow\frac{\sqrt{ab^2c^3}}{b+c}+...\le\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1
^.^
\(\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\Leftrightarrow b-2\sqrt{bc}+c\ge0\Leftrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc}\) dấu "="xảy ra khi b=c
\(\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)=a^2+2a\left(b+c\right)+4bc\ge a^2+4a\sqrt{bc}+4bc=\left(a+2\sqrt{bc}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}\ge a+2\sqrt{bc}\)
tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(b+2c\right)\left(b+2c\right)}\ge b+2\sqrt{bc}\\\sqrt{\left(c+2a\right)\left(a+2b\right)}\ge c+2\sqrt{ab}\end{cases}}\)
dấu "=" xảy ra khi a=b=c
\(\Rightarrow A=\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}+\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)}\)\(\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}\)
hay \(A\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{3}\right)^2=3\)
dấu "="xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(M=\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{b}-4\sqrt{c}\right)^2=\left(2\sqrt{a}+3\sqrt{a}-4\sqrt{a}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2=\frac{\sqrt{3}}{3}\)