Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Phải bổ sung điều kiện a và b không âm nữa thì mới chứng minh được.
Đặt a = n2 => n = \(\sqrt{a}\)
Đặt b = m2 => m = \(\sqrt{b}\)
mà a < b
=> n2 < m2
=> \(\frac{n^2}{n}< \frac{m^2}{m}\)
=> n < m
=> \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)
b. Nếu \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)
=> \(\sqrt{a}.\sqrt{a}< \sqrt{b}.\sqrt{b}\)
=> a < b
Nếu a<b thì a-b<0 ,suy ra \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)<0\)(hằng đẳng thức)
Hiển nhiên \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>0\)với mọi a khác b nên suy ra \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)<0\)
suy ra ĐPCM, tương tự
\(\sqrt{9\left(b-2\right)^2}=\sqrt{9}.\sqrt{\left(b-2\right)^2}=3.\left|b-2\right|\)
\(\sqrt{a^2\left(a+1\right)^2}=\sqrt{a^2}.\sqrt{\left(a+1\right)^2}=\left|a\right|.\left|a+1\right|\) Nhưng do a > 0
Nên: \(\left|a\right|.\left|a+1\right|=a.\left(a+1\right)=a^2+a\)
\(\sqrt{b^2\left(b-1\right)^2}=\sqrt{b^2}.\sqrt{\left(b-1\right)^2}=\left|b\right|.\left|\left(b-1\right)\right|\)
Em mới lớp 5 thôi sai đừng trách :v
Chúc anh học tốt !!!
\(a,\)\(m>1\)\(\Rightarrow m-1>0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)
Vì \(\sqrt{m}+1>0\)mà \(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{m}-1>0\)\(\Rightarrow\sqrt{m}>1\)
\(b,\)\(m< 1\Rightarrow m-1< 0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)
Vì \(\sqrt{m}+1>0\)Mà \(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)
\(\Rightarrow\sqrt{m}-1< 0\Leftrightarrow\sqrt{m}< 1\)
c)vì m dương ,m>1 => m-1>0 <=> m(m-1) >0
<=>\(m^2-m>0\)
<=>\(\left(m-\sqrt{m}\right)\left(m+\sqrt{m}\right)>0\)0
Mà m dương nên \(m+\sqrt{m}>0\)=> \(m-\sqrt{m}>0=>m>\sqrt{m}\)(đpcm)
Câu d tương tự nhé
Mấy bài này dài vật vã ghê =)))))))))))))
1, a, \(\frac{3+4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}}\)
= \(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}\)
=\(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2-5}\)
=\(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{8+4\sqrt{3}-5}\)
= \(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{3+4\sqrt{3}}\)
=\(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\)
b, M = \(\frac{\sqrt{3}\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2}-x+1}\)(ĐKXĐ: \(x\ge0\))
= \(\frac{\sqrt{3}\left(x-1\right)}{x-x+1}\)
= \(\sqrt{3}\left(x-1\right)\)
Thay x = \(2+\sqrt{3}\)(TMĐK) vào M ta có:
M = \(\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{3}\left(1+\sqrt{3}\right)=3+\sqrt{3}\)
Vậy với x = \(2+\sqrt{3}\)thì M = \(3+\sqrt{3}\)
2, Mình chỉ giải câu a thôi nhé:
\(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\ge2\sqrt{1+a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\right)^2\ge\left(2\sqrt{1+a}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow1+b+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+1+c\ge4\left(1+a\right)\)
\(\Leftrightarrow2+b+c+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge4\left(1+a\right)\left(1\right)\)
Vì \(\left(\sqrt{1+b}-\sqrt{1+c}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2+b+c\ge2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow4+2\left(b+c\right)+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge4\left(1+a\right)+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow4+2\left(b+c\right)\ge4\left(1+a\right)\)
\(\Leftrightarrow4+2\left(b+c\right)\ge4+4a\)
\(\Leftrightarrow2\left(b+c\right)\ge4a\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge2a\)
4*. Thật ra cái này mình xài làm trội, làm giảm là được mà
Đặt A = \(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
\(\frac{1}{2}A=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+....+\frac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\frac{1}{2}A=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}\)
+ .........................................................
\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
Cộng tất cả vào
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)\(\frac{1}{2}A>\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}\)
\(\frac{1}{2}A>\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
\(\frac{1}{2}A>\sqrt{n+1}-\sqrt{2}\)
\(A>2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n+1}-3\)
\(A+1>2\sqrt{n+1}-3+1\)
\(A+1>2\sqrt{n+1}-2\)
\(A+1>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đề sai . Với m = n = 1 thì
\(VT-VP=\left|1-\sqrt{2}\right|-\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\)
\(=\sqrt{2}-1-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
\(=2\sqrt{2}-\left(1+\sqrt{3}\right)\)
Dễ thấy \(2\sqrt{2}>1+\sqrt{3}\)Nên VT - VP > 0
=> VT > VP
=> Đề sai :3
\(a,\)Vì \(a< b\Rightarrow a-b< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)
Mà \(a,b>0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\left(đpcm\right)\)
\(b,\)Ta có:\(a\ge0;b>0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)
Vì\(\sqrt{a}< \sqrt{b}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)(1)
Nhân hai vế của (1) với \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).Mà theo cmt thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)nên khi nhân vào thì dấu của BPT (1) không đổi chiều
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2< 0\)
\(\Leftrightarrow a-b< 0\)
\(\Rightarrow a< 0\left(đpcm\right)\)