Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài ezzz =))))
\(VT=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}+\frac{\frac{1}{b^2}}{b\left(c+a\right)}+\frac{\frac{1}{c^2}}{c\left(a+b\right)}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(VT\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
cách 2 . đặt ẩn phụ nhé bro
Đặt \(\left\{\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)\(\Rightarrow xyz=1\), khi đó :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :\(\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}+\frac{1}{\left(\frac{1}{y}\right)^2\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)}+\frac{1}{\left(\frac{1}{z}\right)^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(< =>\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{xy^3z}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}\ge\frac{3}{2}< =>\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\right)+\left(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{4}}+2\sqrt{\frac{y^2}{4}}+2\sqrt{\frac{z^2}{4}}=\frac{2x}{2}+\frac{2y}{2}+\frac{2z}{2}=x+y+z\)
Suy ra :\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y+y+z+z+x}{4}\ge x+y+z< =>\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
Theo đánh giá của AM-GM thì : \(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)Từ đó ta suy ra được :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1< =>a=b=c=1\)
Ta có \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\a,b,c>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\a,b,c\ge1\end{cases}}}\)
Vì \(a,b,c\ge1\)
\(\Rightarrow a+b+c\le a^2+b^2+c\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}\left(1\right)\)
Tương tự
\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{b^2+c^2+a}\left(2\right)\)
\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{c^2+b^2+a}\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}+\frac{1}{b^2+c^2+a}+\frac{1}{c^2+a^2+b}\)
\(\Rightarrow\frac{3}{3}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}+\frac{1}{b^2+c^2+a}+\frac{1}{c^2+a^2+b}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)
Vậy Max S1 = 3/3 = 1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\) (4)
Vì \(a,b,c\ge1\)
\(\Rightarrow a+b+c\le a^2+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b+c}\left(5\right)\)
Tương tự
\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{b^2+c+a}\left(6\right)\)
\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{c^2+b+a}\left(7\right)\)
Từ \(\left(5\right);\left(6\right);\left(7\right)\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\)
\(\frac{3}{3}\ge\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)
Vậy Max S2 = 3/3 = 1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\) (8)
Từ (4); (8) => GTLN S1 = GTLN S2 (đpcm)
