Question

[Nguyen Thu Hang]

Cho A( x ) = x³ + mx + n ( n ; m thuộc Z ). Tìm m và n biết A : ( x - 1 ) dư 4 và A : ( x + 1 ) dư 6

Answer 1

[Lê Tài Bảo Châu]

cách 2 nếu chưa học bezout

x^3 +mx+n x-1 x^2+x+(m+1) x^3-x^2 - x^2+mx+n x^2-x - (m+1)x+n (m+1)x-(m+1) - n+m+1

Mà \(A\left(x\right):\left(x-1\right)\)dư 4\(\Rightarrow m+n+1=4\)

                                                 \(\Rightarrow m+n=3\left(1\right)\)

x^3 +mx+n x+1 x^2-x+(m+1) x^3+x^2 - -x^2+mx+n -x^2-x - (m+1)x+n (m+1)x+(m+1) - n-m-1

Mà \(A\left(x\right):\left(x+1\right)\)dư 6\(\Rightarrow n-m-1=6\)

                                               \(\Rightarrow n-m=7\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}n+m=3\\n-m=7\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=5\\m=-2\end{cases}}}\)

Vậy n=5 và m=-2

Answer 2

[Lê Tài Bảo Châu]

Áp dụng định lý Bezout ta có:

\(A\left(x\right)\)chia x-1 dư 4 \(\Rightarrow A\left(1\right)=4\)

                                    \(\Rightarrow1+m+n=4\)

                                     \(\Rightarrow m+n=3\left(1\right)\)

\(A\left(x\right)\)chia x+1 dư 6 \(\Rightarrow A\left(-1\right)=6\)

                                       \(\Rightarrow-1-m+n=6\)

                                      \(\Rightarrow-m+n=7\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}m+n=3\\-m+n=7\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}n=5\\m=-2\end{cases}}\)

Vậy n=5 và m=-2