Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(\overrightarrow{AB}=\left(1;-3;-3\right);\overrightarrow{AC}=\left(-1;-1;-4\right)\)
\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(9;7;-4\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]\right|=\frac{1}{2}\sqrt{9^2+7^2+4^2}=\frac{\sqrt{146}}{2}\)
2.
Phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d là:
\(3\left(x-4\right)+2\left(y+3\right)-1\left(z-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x+2y-z-4=0\)
Tọa độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+2}{3}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-1}\\3x+2y-z-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(1;0;-1\right)\)
3.
\(f\left(x\right)=6x^5-9x^6\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\int\left(6x^5-9x^6\right)dx=x^6-\frac{9}{7}x^7+C\)
\(F\left(-1\right)=1\Leftrightarrow1+\frac{9}{7}+C=1\Rightarrow C=-\frac{9}{7}\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=-\frac{9}{7}x^7+x^6-\frac{9}{7}\)
14.
Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right)\) là 1 vtpt
Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow{u}=\left(1;-2;3\right)\) là 1 vtcp
Điểm \(M\left(2;0;-3\right)\) thuộc d nên cũng thuộc (Q)
(Q) vuông góc (P) và chứa d nên nhận \(\left[\overrightarrow{n};\overrightarrow{u}\right]=\left(1;8;5\right)\) là 1 vtpt
Phương trình (Q):
\(1\left(x-2\right)+8y+5\left(z+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+8y+5z+13=0\)
15.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(sinx=cosx\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}\)
\(S=\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\left(cosx-sinx\right)dx+\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{4}}\left(sinx-cosx\right)dx=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}\)
10.
Coi lại đề nào bạn, pt hình phẳng (D) có vấn đề, nhìn chữ -dx+4 kia ko biết phải nghĩ sao
11.
Cũng ko dịch được đề này, đoán đại: cho \(F\left(x\right)=x^2\) là 1 nguyên hàm của \(f\left(x\right).e^{2x}\). Tìm nguyên hàm của \(f'\left(x\right).e^{2x}\)
\(I=\int f'\left(x\right)e^{2x}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{2x}\\dv=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2e^{2x}dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=e^{2x}f\left(x\right)-2\int f\left(x\right)e^{2x}dx=e^{2x}f\left(x\right)-2x^2+C\)
12.
Đúng là \(y=\left(e+1\right)x\) và \(y=1+e^x\) chứ bạn? Hai đồ thị này cắt nhau tại 2 điểm, nhưng ko thể tìm được tọa độ của điểm thứ 2 đâu
13.
Hình chiếu của A lên Ox có tọa độ \(\left(1;0;0\right)\)
14.
Pt mp (P) qua A và vuông góc d:
\(1\left(x-2\right)-2\left(y-3\right)+2\left(z+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-2y+2z+6=0\)
Pt d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=1-2t\\z=5+2t\end{matrix}\right.\)
Gọi M là giao điểm d và (P) thì tọa độ M thỏa mãn:
\(4+t-2\left(1-2t\right)+2\left(5+2t\right)+6=0\) \(\Rightarrow t=-2\) \(\Rightarrow M\left(2;5;1\right)\)
A' đối xứng A qua d \(\Rightarrow\)M là trung điểm AA'
Theo công thức trung điểm \(\Rightarrow A'\left(2;7;3\right)\)
15.
Pt d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+3t\\y=-2+2t\\z=-t\end{matrix}\right.\)
PT (P) qua A và vuông góc d:
\(3\left(x-4\right)+2\left(y+3\right)-1\left(z-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x+2y-z-4=0\)
H là giao điểm d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:
\(3\left(-2+3t\right)+2\left(-2+2t\right)+t-4=0\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow H\left(1;0;-1\right)\)
11.
Thay tọa độ 4 điểm vào pt d chỉ có đáp án A thỏa mãn
12.
Phương trình (P) qua A và vuông góc \(\Delta\):
\(1\left(x-0\right)+1\left(y-1\right)-1\left(z+1\right)=0\Leftrightarrow x+y-z-2=0\)
Gọi M là giao điểm d và (P) thì tọa độ M thỏa mãn:
\(1+t+2+t-\left(13-t\right)-2=0\Rightarrow t=4\) \(\Rightarrow M\left(5;6;9\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(5;5;10\right)=5\left(1;1;2\right)\)
Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1+t\\z=-1+2t\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x=5+t\\y=6+t\\z=9+2t\end{matrix}\right.\)
13.
Pt tham số đường d qua A vuông góc (P): \(\left\{{}\begin{matrix}x=-t\\y=1-2t\\z=-2+2t\end{matrix}\right.\)
H là giao điểm (P) và d nên tọa độ thỏa mãn:
\(t-2\left(1-2t\right)+2\left(-2+2t\right)-3=0\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow H\left(-1;-1;0\right)\)
Câu 1:
\(\overrightarrow{MN}=\left(3;-1;-4\right)\Rightarrow\) pt mặt phẳng trung trực của MN:
\(3\left(x-\frac{7}{2}\right)-\left(y-\frac{1}{2}\right)-4\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow3x-y-4z-2=0\)
\(\overrightarrow{PN}=\left(4;3;-1\right)\Rightarrow\) pt mp trung trực PN: \(4x+3y-z-7=0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng giao tuyến của 2 mp trên: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=1-t\\z=t\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I\left(1+c;1-c;c\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{NI}=\left(c-4;1-c;c\right)\)
\(d\left(I;\left(Oyz\right)\right)=IN\Rightarrow\left|1+c\right|=\sqrt{\left(c-4\right)^2+\left(1-c\right)^2+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(c+1\right)^2=3c^2-10c+17\)
\(\Leftrightarrow2c^2-12c+16=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=4\\c=2\end{matrix}\right.\)
Mà \(a+b+c< 5\Rightarrow\left(1+c\right)+\left(1-c\right)+c< 5\Rightarrow c< 3\Rightarrow c=2\)
Câu 2:
Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=t\\z=2-t\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-1+2n;n;2-n\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AC}=\left(2n;n-3;1-n\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(1;-1;-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(3n-7;-3n-1;3n-3\right)\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]\right|=2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(3n-7\right)^2+\left(-3n-1\right)^2+\left(3n-3\right)^2}=4\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow27n^2-54n+27=0\Rightarrow n=1\)
\(\Rightarrow C\left(1;1;1\right)\Rightarrow m+n+p=3\)
Câu 28:
\(\overrightarrow{CB}=\left(1;-1;1\right)\)
Do (P) vuông góc BC nên nhận (1;-1;1) là 1 vtpt
Phương trình (P):
\(1\left(x-1\right)-1\left(y-1\right)+1\left(z+5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-y+z+5=0\)
Câu 29:
Mạt phẳng (Q) nhận \(\left(1;-2;3\right)\) là 1 vtpt nên nhận các vecto có dạng \(\left(k;-2k;3k\right)\) cũng là các vtpt với \(k\ne0\)
Do đó đáp án B đúng (ko tồn tại k thỏa mãn)
Với đáp án A thì \(k=-2\) , đáp án C thì \(k=3\), đáp án D có \(k=1\)
6.
Mặt phẳng Oxz có pt: \(y=0\)
Khoảng cách từ I đến Oxz: \(d\left(I;Oxz\right)=\left|y_I\right|=2\)
\(\Rightarrow R=2\)
Phương trình mặt cầu:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=4\)
7.
Mặt phẳng (Q) nhận \(\left(1;-2;3\right)\) là 1 vtpt nên cũng nhận các vecto có dạng \(\left(k;-2k;3k\right)\) là vtpt
Bạn có ghi nhầm đề bài ko nhỉ? Thế này thì cả C và D đều ko phải vecto pháp tuyến của (Q)
4.
Đường thẳng d nhận \(\left(1;-2;2\right)\) là 1 vtcp
Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc d \(\Rightarrow\) (P) nhận \(\left(1;-2;2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình (P): \(1\left(x-2\right)-2\left(y-3\right)+2\left(z+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-2y+2z+6=0\)
Pt d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=4+t\\y=1-2t\\z=5+2t\end{matrix}\right.\)
Tọa độ hình chiếu M' của M lên d là giao của d và (P) nên thỏa mãn:
\(4+t-2\left(1-2t\right)+2\left(5+2t\right)+6=0\) \(\Rightarrow t=-2\)
\(\Rightarrow M'\left(2;5;1\right)\)
5.
(P) nhận \(\left(2;3;1\right)\) là 1 vtpt
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc (P)
\(\Rightarrow\) d nhận \(\left(2;3;1\right)\) là 1 vtcp
Phương trình tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-2+3t\\z=1+t\end{matrix}\right.\)
H là giao điểm của d và (P) nên tọa độ thỏa mãn:
\(2\left(1+2t\right)+3\left(-2+3t\right)+1+t-11=0\) \(\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow H\left(3;1;2\right)\)
Do điểm H thuộc d nên \(H\left(1-t;2t;-3+3t\right)\).
\(\overrightarrow{IH}=\left(4-t;-2+2t-2+3t\right)\)
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(-1;2;3\right)\)
Do H là hình chiếu của I trên đường thẳng d nên:
\(\overrightarrow{IH}\perp\overrightarrow{u}\Rightarrow\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow-4+t-4+4t-6+9t=0\\ \Leftrightarrow14t-14=0\\ \Leftrightarrow t=1\)
Suy ra \(H\left(3;0;1\right)\)
20.
\(F\left(x\right)=\int\frac{1}{x-1}dx=ln\left|x-1\right|+C\)
\(F\left(2\right)=1\Leftrightarrow ln1+C=1\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=ln\left|x-1\right|+1\)
21.
\(\int\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}dx=\int\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\right)}dx\)
\(=\int\left(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\right)dx=\int\left[\left(x+2\right)^{\frac{1}{2}}-\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}\right]dx\)
\(=\frac{2}{3}\left(x+2\right)\sqrt{x+2}-\frac{2}{3}\left(x+1\right)\sqrt{x+1}+C\)
\(\Rightarrow3a+b=3\left(\frac{2}{3}\right)-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\)
22.
Pt tham số d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1-t\\z=-3+3t\end{matrix}\right.\)
Pt mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d có dạng:
\(2\left(x-1\right)-y+3\left(z-2\right)=0\Leftrightarrow2x-y+3z-8=0\)
Gọi M là giao điểm d và (P) \(\Rightarrow\) tọa đô M thỏa mãn:
\(2\left(1+2t\right)+1+t+3\left(-3+3t\right)-8=0\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow M\left(3;-2;0\right)\)
A đối xứng A' qua d \(\Leftrightarrow\) M là trung điểm AA' \(\Rightarrow A'\left(5;-4;-2\right)\)
Đáp án A.