Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b)
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
c)
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
\(PT\Leftrightarrow2+\frac{1}{sinxcosx}-cotx=-2-sinx-cosxcotx-tanx\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{sinxcosx}-\frac{cosx}{sinx}=-2sinx-\frac{sinx}{cosx}\)
\(\Leftrightarrow1-cos^2x+2sin^2xcosx+sin^2x=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x+2sin^2xcosx=0\)
\(\Leftrightarrow2sin^2x\left(1+cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^2x=0\\cosx=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\\cosx=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2k\pi\\x=\pi+2k\pi\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=k\pi\)
Mình sửa lại câu trả lời
ĐK:\(\left\{{}\begin{matrix}sinx\ne0\\cosx\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne k\pi\\x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.\)
\(PT\Leftrightarrow2sin^2x\left(1+cosx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\left(loai\right)\\cosx=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi\left(loai\right)\)
Vậy phương trình vô nghiệm
\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{sin\left(\frac{x-a}{2}\right)}{\frac{x-a}{2}}.cos\left(\frac{x+a}{2}\right)=1.cos\left(\frac{a+a}{2}\right)=cosa\)
b/ \(\lim\limits_{x\rightarrow\pi}\frac{sin\frac{\pi}{2}-sin\frac{x}{2}}{\pi-x}=\lim\limits_{x\rightarrow\pi}\frac{sin\left(\frac{\pi-x}{4}\right)}{\frac{\pi-x}{4}}.\frac{cos\left(\frac{\pi+x}{4}\right)}{2}=\frac{cos\left(\frac{\pi+\pi}{4}\right)}{2}=0\)
c/ Đặt \(x-\frac{\pi}{3}=a\Rightarrow x=a+\frac{\pi}{3}\)
\(\lim\limits_{a\rightarrow0}\frac{sina}{1-2cos\left(a+\frac{\pi}{3}\right)}=\lim\limits_{a\rightarrow0}\frac{sina}{1-cosa+\sqrt{3}sina}\)
\(=\lim\limits_{a\rightarrow0}\frac{2sin\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}}{-2sin^2\frac{a}{2}+2\sqrt{3}sin\frac{a}{2}cos\frac{a}{2}}=\lim\limits_{a\rightarrow0}\frac{cos\frac{a}{2}}{-sin\frac{a}{2}+\sqrt{3}cos\frac{a}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
d/Ta có: \(tana-tanb=\frac{sina}{cosa}-\frac{sinb}{cosb}=\frac{sina.cosb-cosa.sinb}{cosa.cosb}=\frac{sin\left(a-b\right)}{cosa.cosb}\)
Áp dụng:
\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\left(tanx-tana\right)\left(tanx+tana\right)}{\frac{sin\left(x-a\right)}{cos\left(x-a\right)}}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{sin\left(x-a\right)\left(tanx+tana\right).cos\left(x-a\right)}{sin\left(x-a\right).cosx.cosa}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\left(tanx+tana\right).cos\left(x-a\right)}{cosx.cosa}\)
\(=\frac{2tana}{cos^2a}\)
a/
\(sin^2x-sinx=2\left(1-sin^2x\right)\)
\(\Leftrightarrow3sin^2x-sinx-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=-1\\sinx=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x=arcsin\left(\frac{2}{3}\right)+k2\pi\\x=\pi-arcsin\left(\frac{2}{3}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)
2.
\(2sin^2x+\left(1-\sqrt{3}\right)sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=-\frac{1}{2}\\sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
3.
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}+k2\pi\\3x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{8}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{24}+\frac{k2\pi}{3}\\x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)
\(a,sin2x-2sinx+cosx-1=0\)
\(\Leftrightarrow2sinxcosx-2sinx+cosx-1=0\)
\(\Leftrightarrow2sinx\left(cosx-1\right)+cosx-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(cosx-1\right)\left(2sinx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}cosx=1\\sinx=-\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2k\pi\\x=\frac{-\pi}{6}+2k\pi\end{cases}}}\)
\(b,\sqrt{2}\left(sinx-2cosx\right)=2-sin2x\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sinx-2\sqrt{2}cosx-2+2sinxcosx=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sinx\left(1+\sqrt{2}cosx\right)-2.\left(\sqrt{2}cosx+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}cosx+1\right)\left(\sqrt{2}sinx-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}cosx=\frac{-\sqrt{2}}{2}\\sinx=\frac{2\sqrt{2}}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)(vì \(-1\le sinx\le1\))
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\end{cases}}\)
\(c,\frac{1}{cosx}-\frac{1}{sinx}=2\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{sinx-cosx}{sinx.cosx}=2\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{sinx.cosx}=2\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
\(\Leftrightarrow sin2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow sin2x=-1\)
\(\Leftrightarrow2x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\)
iểm tra với n = 1
Giả sử đã có
Viết S k + 1 = S k + sin ( k + 1 ) x sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có