Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x\left(x+1\right)f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}.f'\left(x\right)+\frac{1}{\left(x+1\right)^2}f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{\left(x+1\right)^2}=\frac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{x+1}.f\left(x\right)\right)'=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}f\left(x\right)=\int\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=x-ln\left|x+1\right|+C\)
Thay \(x=1\) vào ta được
\(\frac{1}{1+1}f\left(1\right)=1-ln2+C\Rightarrow C=\frac{f\left(1\right)}{2}+ln2-1=-1\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}f\left(x\right)=x-ln\left|x+1\right|-1\)
Thay \(x=2\) vào ta được:
\(\frac{2}{3}f\left(2\right)=2-ln3-1\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{3}{2}\left(1-ln3\right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}ln3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{2}\)
Phương pháp để dẫn tới cách giải trên như sau:
Nhìn vế trái, ta thấy nó có dạng gần giống với biểu thức đạo hàm của một tích, vậy ta cố gắng đưa vế trái thành đạo hàm của một tích.
Giả sử sau khi biến đổi, ta được vế trái có dạng: \(VT=\left(u.f\right)'\) ta cần tìm hàm \(u\left(x\right)\) này
\(\Rightarrow VT=u.f'+u'.f\)
Chia cho \(u\) ta được: \(\frac{VT}{u}=f'+\frac{u'}{u}.f\)
Chỉ cần quan tâm tới dạng \(f'+\frac{u'}{u}.f\) (1)
Nói chung là ta cần triệt tiêu toàn bộ hệ số đằng trước \(f'\left(x\right)\)
Ta biến đổi biểu thức ban đầu về dạng (1) bằng cách chia biểu thức điều kiện cho \(x\left(x+1\right)\)
\(f'\left(x\right)+\frac{1}{x\left(x+1\right)}f\left(x\right)=\frac{x^2+x}{x\left(x+1\right)}\) (2)
Chỉ quan tâm tới vế trái của (2), đồng nhất nó với (1) ta thấy:
\(\frac{u'}{u}=\frac{1}{x\left(x+1\right)}\)
Lấy nguyên hàm 2 vế:
\(\int\frac{u'}{u}dx=\int\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx\Leftrightarrow ln\left(u\right)=ln\left(\frac{x}{x+1}\right)\Rightarrow u=\frac{x}{x+1}\)
Vậy ta đã biết hàm \(u\left(x\right)\) cần tìm là \(u\left(x\right)=\frac{x}{x+1}\)
Lấy tích phân 2 vế giả thiết:
\(\int\limits^1_0\left(f'\left(x\right)\right)^2dx+4\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(8x^2+4\right)dx=\frac{20}{3}\)
Xét \(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^1_0-\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx=2-\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+8-4\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx=\frac{20}{3}\)
\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx-2\int\limits^1_02x.f'\left(x\right)dx+\int\limits^1_04x^2dx=\frac{20}{3}-8+\int\limits^1_04x^2dx=0\)
\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[\left[f'\left(x\right)\right]^2-2.2x.f'\left(x\right)+4x^2\right]dx=0\)
\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)-2x\right]^2dx=0\Rightarrow f'\left(x\right)=2x\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+C\)
Do \(f\left(1\right)=2\Rightarrow2=1+C\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2+1\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0\left(x^2+1\right)dx=\frac{4}{3}\)
Bài 1:
\(F'\left(x\right)=e^x+\left(x-1\right)e^x=xe^x=\frac{x}{e^x}.e^{2x}\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x}{e^x}\)
Xét \(I=\int f'\left(x\right)e^{2x}dx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{2x}\\v=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=2e^{2x}dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=f\left(x\right).e^{2x}+2\int f\left(x\right).e^{2x}dx=x.e^x+2\left(x-1\right)e^x+C=\left(3x-2\right)e^x+C\)
2.
Xét \(J=\int\limits^1_0xf\left(6x\right)dx\)
Đặt \(6x=t\Rightarrow dx=\frac{1}{6}dt\Rightarrow J=\frac{1}{36}\int\limits^6_0t.f\left(t\right)dt=\frac{1}{36}\int\limits^6_0x.f\left(x\right)dx=1\)
\(\Rightarrow I=\int\limits^6_0x.f\left(x\right)dx=36\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\frac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{2}x^2f\left(x\right)|^6_0-\frac{1}{2}\int\limits^6_0x^2.f'\left(x\right)dx\)
\(\Leftrightarrow36=18-\frac{1}{2}\int\limits^6_0x^2f'\left(x\right)dx\)
\(\Rightarrow\int\limits^6_0x^2f'\left(x\right)dx=-36\)
9.
\(f\left(x\right)=F'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c\)
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(1\right)=2\\f\left(2\right)=3\\f\left(3\right)=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a.1+2b.1+c=2\\3a.2^2+2b.2+c=3\\3a.3^2+2b.3+c=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+2b+c=2\\12a+4b+c=3\\27a+6b+c=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=\frac{1}{2}\\c=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+x+1\)
10.
\(F\left(x\right)=\int\frac{x-2}{x^3}dx=\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}\right)dx=\int\left(x^{-2}-2x^{-3}\right)dx\)
\(=-1.x^{-1}+x^{-2}+C=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+C\)
\(F\left(-1\right)=3\Leftrightarrow1+1+C=3\Rightarrow C=1\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+1\)
4.
\(\int\left(x^3-\frac{3}{x^2}+2^x\right)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{3}{x}+\frac{2^x}{ln2}+C\)
5.
\(\int e^{2019x}dx=\frac{1}{2019}\int e^{2019x}d\left(2019x\right)=\frac{1}{2019}e^{2019x}+C\)
6.
\(\int sin2018x.dx=\frac{1}{2018}\int sin2018x.d\left(2018x\right)=-\frac{1}{2018}cos2018x+C\)
7.
\(\int\frac{x^2-x+1}{x-1}dx=\int\left(\frac{x\left(x-1\right)}{x-1}+\frac{1}{x-1}\right)dx=\int\left(x+\frac{1}{x-1}\right)dx=\frac{1}{2}x^2+ln\left|x-1\right|+C\)
8.
\(F\left(x\right)=\int\left(2x+1\right)^3dx=\frac{1}{2}\int\left(2x+1\right)^3d\left(2x+1\right)=\frac{1}{8}\left(2x+1\right)^4+C\)
\(F\left(\frac{1}{2}\right)=4\Leftrightarrow\frac{1}{8}\left(2.\frac{1}{2}+1\right)^4+C=4\Rightarrow C=2\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{1}{8}\left(2x+1\right)^4+2\Rightarrow F\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{8}4^4+2=34\)
Chọn \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)
\(2f\left(x^2\right)+f'\left(x\right)=2x^6+7x^2+2\)
\(\Leftrightarrow2x^6+2ax^4+2bx^2+c+3x^2+2ax+b=2x^6+7x^2+2\)
\(\Leftrightarrow2ax^4+\left(2b+3\right)x^2+2ax+b+c=7x^2+2\)
Đồng nhất 2 vế ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}a=0\\2b+3=7\\b+c=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c=0\\b=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+2x\Rightarrow f\left(1\right)=3\)
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa