Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
hãy nhớTừ công thức truy hồi ta có:
\(x_{n+1}>x_n,\forall n=1,2...\)
\(\Rightarrow\)dãy số \(\left(x_n\right)\) là dãy số tăng
giả sử dãy số \(\left(x_n\right)\) là dãy bị chặn trên \(\Rightarrow limx_n=x\)
Với x là nghiệm của pt ta có: \(x=x^2+x\Leftrightarrow x=0< x_1\) (vô lý)
=> dãy số \(\left(x_n\right)\) không bị chặn hay \(limx_n=+\infty\)
Mặt khác: \(\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_n\left(x_n+1\right)}=\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+1}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x_n+1}=\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+1}\)
\(\Rightarrow S_n=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{n+1}}=2-\frac{1}{x_{n+1}}\)
\(\Rightarrow limS_n=2-lim\frac{1}{x_{n+1}}=2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-1;u_2=3\\u_n-5u_{n-1}+6u_{n-2}=2n^2+2n+1\end{matrix}\right.\)
Bài toán này sử dụng phương pháp sai phân tuyến tính cấp 2 thì rất nhanh, nhưng lớp 11 chưa học nên đành phân tích theo dạng dãy :(
Ta cần phân tích \(2n^2+2n+1\) về dạng:
\(an^2+bn+c-5\left[a\left(n-1\right)^2+b\left(n-1\right)+c\right]+6\left[a\left(n-2\right)^2+b\left(n-2\right)+c\right]\)
\(=2an^2+\left(2b-14a\right)n+19a-7b+2c\)
Đồng nhất đa thức trên với \(2n^2+2n+1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=2\\2b-14a=2\\19a-7b+2c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=8\\c=19\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n=u_n-\left(n^2+8n+19\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=-29;v_2=-36\\v_n-5v_{n-1}+6v_{n-2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n-3v_{n-1}=2\left(v_{n-1}-3v_{n-2}\right)\)
Đặt \(v_n-3v_{n-1}=x_n\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=v_2-3v_1=21\\x_n=2x_{n-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n\) là cấp số nhân với công bội 2
\(\Rightarrow x_n=x_2.2^{n-2}=21.2^{n-2}\)
\(\Rightarrow v_n-3v_{n-1}=21.2^{n-2}\)
\(\Rightarrow v_n+\frac{21}{2}2^n=3\left(v_{n-1}+\frac{21}{2}2^{n-1}\right)\)
Đặt \(y_n=v_n+\frac{21}{2}.2^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1=-8\\y_n=3y_{n-1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y_n=-8.3^{n-1}\)
\(\Rightarrow v_n=y_n-\frac{21}{2}.2^n=-8.3^{n-1}-21.2^{n-1}\)
\(\Rightarrow u_n=v_n+\left(n^2+8n+19\right)=-8.3^{n-1}-21.2^{n-1}+n^2+8n+19\)
Bạn kiểm tra lại quá trình tính toán, sợ nhầm lẫn đâu đó
Căn bản ko biết bạn học tới đâu rồi nên làm kiểu tuần tự giống như người chưa học dãy số bao giờ.
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}g\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{x^3-8}{x-1}=\frac{0}{1}=0\)
\(g\left(2\right)=5\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2}g\left(x\right)\ne g\left(2\right)\Rightarrow g\left(x\right)\) ko liên tục tại x=2
b/ Ko thấy số 5 nào ở biểu thức g(x) cả
\(\Leftrightarrow u_{n+1}^2-3u_n^2=2\)
Thay \(n\) bằng \(n-1\) ; \(n-2\) ... ta được:
\(u_n^2-3u_{n-1}^2=2\) \(\Rightarrow3u_n^2-3^2u_{n-1}=2.3\)
\(u_{n-1}^2-3u_{n-2}^2=2\Rightarrow3^2u_{n-1}^2-3^3u_{n-2}=2.3^2\)
.....
\(u^2_2-3u_1^2=2\Rightarrow3^{n-1}u_2^2-3^nu_1=2.3^{n-1}\)
Cộng vế với vế:
\(u_{n+1}^2-3^nu_1=2\left(1+3+3^2+...+3^{n-1}\right)\)
\(\Rightarrow u_{n+1}^2=3^n+3^n-1=2.3^n-1\)
\(\Rightarrow u_{n+1}=\sqrt{2.3^n-1}\Rightarrow u_n=\sqrt{2.3^{n-1}-1}\)
Bạn sửa lại dòng thứ 5 của câu 1 giúp mình:
\(-\frac{1}{24}\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+2\right)\left(n-11\right)\)
2)
\(Y_n=\frac{\frac{\left(n+4\right)!}{n!}}{\left(n+2\right)!}-\frac{143}{4.n!}\)
\(=\frac{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}{n!}-\frac{143}{4n!}\)
\(=\frac{1}{4n!}\left(2n+19\right)\left(2n-5\right)\)
\(Y_n< 0\)
<=> \(\frac{1}{4n!}\left(2n+19\right)\left(2n-5\right)\)<0
<=> \(\left(2n+19\right)\left(2n-5\right)< 0\)
<=> \(-\frac{19}{2}< n< \frac{5}{2}\)
Đối chiếu với n \(\ge\)1 và n là số tự nhiên
ta có: n = 1 hoặc n = 2
Vậy các số hạng âm của dãy số ( Y_n) là:
\(Y_1=-\frac{63}{4};Y_2=-\frac{23}{8}\)
1) \(X_n=\frac{5}{4}.\frac{\left(n-2\right)!}{\left(n-4\right)!}-\frac{\left(n-1\right)!}{4!\left(n-5\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{3!\left(n-4\right)!}\)
\(=\frac{5}{4}.\left(n-2\right)\left(n-3\right)-\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)}{24}+\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{6}\)
= \(\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(\frac{5}{4}-\frac{\left(n-1\right)\left(n-4\right)}{24}+\frac{n-1}{6}\right)\)
= \(\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(-\frac{n^2}{24}+\frac{3n}{8}+\frac{11}{12}\right)\)
= - \(\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+2\right)\left(n-11\right)\)
Để \(X_n>0\)
<=> \(\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n+2\right)\left(n-11\right)\) < 0
<=> n \(\in\left(-2;2\right)\cup\left(3;11\right)\)
Đối chiếu đk n \(\ge\)5
ta có n \(\in\) [ 5; 11 ) và n là số tự nhiên.
Các số hạng dương là:
\(X_5;X_6;...;X_{10}\) ( tự thay vào rồi tính kết quả nhé)
VD: \(X_5=\frac{5}{4}.A^2_3-C^4_4+C^3_4=\frac{21}{2}\)
\(u_1=\sqrt{3}=tan\frac{\pi}{3}\)
Mặt khác \(tan\frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1\Rightarrow u_{n+1}=\frac{u_n+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_n.tan\frac{\pi}{8}}\)
Nhìn công thức \(u_{n+1}\) có dạng \(tan\left(a+b\right)\) nên ta thay thử vài giá trị tìm quy luật
\(u_2=\frac{u_1+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.u_1}=\frac{tan\frac{\pi}{3}+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.tan\frac{\pi}{3}}=tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right)\)
\(u_3=\frac{tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right)+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}\right).tan\frac{\pi}{8}}=tan\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=tan\left(\frac{\pi}{3}+2.\frac{\pi}{8}\right)\)
Dự đoán số hạng tổng quát có dạng: \(u_n=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(n-1\right)\frac{\pi}{8}\right)\)
Giả sử công thức đúng với \(n=k\) hay \(u_k=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(u_{k+1}=tan\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{8}\right)\)(các số hạng đầu đã kiểm tra nên chứng minh quy nạp chắc khỏi cần kiểm tra lại)
Thật vậy, với \(n=k+1\) ta có:
\(u_{k+1}=\frac{u_k+tan\frac{\pi}{8}}{1-u_k.tan\frac{\pi}{8}}=\frac{tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)+tan\frac{\pi}{8}}{1-tan\frac{\pi}{8}.tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}\right)}\)
\(=tan\left(\frac{\pi}{3}+\left(k-1\right)\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{8}\right)=tan\left(\frac{\pi}{3}+k\frac{\pi}{8}\right)\) (đpcm)
Chọn B.
Phương pháp:
Cách giải: Ta có:
x n + 1 = x n 2 ( 2 n + 1 ) x n + 1
⇔ 1 x n + 1 = 2 ( 2 n + 1 ) + 1 x n
Đặt u n = 1 x n
ta có: u n + 1 = 2 ( 2 n + 1 ) + u n
Vậy u 100 = 2 ( 2 . 99 + 1 ) + 2 ( 2 . 98 + 1 ) + . . . 2 ( 2 . 1 + 1 ) + 3 2
⇒ = 39999 2
Vậy x 100 = 39999 2