Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)
\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)
\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)
\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)
\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn
b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)
\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)
\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ
\(A=n^4+6n^3+11n^2+6n\)
\(=n\left(n^3+6n^2+11n+6\right)\)
\(=n\left(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6\right)\)
\(=n\left[n^2\left(n+1\right)+5n\left(n+1\right)+6\left(n+1\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n^2+5n+6\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)
Do đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên nó vừa chia hết cho \(2,3,4\Rightarrow A\) chia hết cho 24
1/
$A=n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n^2-1)(n+3)$
$=(n-1)(n+1)(n+3)$
Do $n$ lẻ nên đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$A=(2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1+3)=2k(2k+2)(2k+4)$
$=8k(k+1)(k+2)$
Vì $k,k+1, k+2$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chẵn, 1 số chia hết cho 3.
$\Rightarrow k(k+1)(k+2)\vdots 2, k(k+1)(k+2)\vdots 3$
$\Rightarrow k(k+1)(k+2)\vdots 6$ (do $(2,3)=1$)
$\Rightarrow A\vdots (8.6)$ hay $A\vdots 48$.
2/
$B=n^{12}-n^8-n^4+1=(n^{12}-n^8)-(n^4-1)$
$=n^8(n^4-1)-(n^4-1)=(n^8-1)(n^4-1)$
$=(n^4-1)(n^4+1)(n^4-1)$
Đặt $n=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$(n^4-1)(n^4-1)=[(n-1)(n+1)(n^2+1)]^2$
$=[2k(2k+2)(4k^2+4k+2)]^2=[8k(k+1)(2k^2+2k+1)]^2$
Vì $k,k+1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên $k(k+1)\vdots 2$
$\Rightarrow 8k(k+1)\vdots 16$
$\Rightarrow (n^4-1)(n^4-1)=[8k(k+1)(2k^2+2k+1)]^2\vdots 16^2=256$
Mà $n^4+1\vdots 2$ do $n$ lẻ.
$\Rightarrow (n^4-1)(n^4-1)(n^4+1)\vdots (2.256)$
Hay $B\vdots 512$
b) Ta có: \(n^4-n^2=n^2\left(n^2-1\right)=n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)\)
*Trường hợp 1: n chia 2 dư 1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-1⋮2\\n+1⋮2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮4\)
hay \(n^4-n^2⋮4\)(1)
*Trường hợp 2: n chia hết cho 2
\(\Leftrightarrow n^2⋮4\)
\(\Leftrightarrow n\cdot n\cdot\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮4\)
hay \(n^4-n^2⋮4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(n^4-n^2⋮4\forall n\in N\)(đpcm)
d) Ta có: \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Ta có: n và n-1 là hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)⋮2\)
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)⋮2\)
\(\Leftrightarrow n^3-n⋮2\)(3)
Ta có: n, n-1 và n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp
\(\Leftrightarrow n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n+1\right)⋮3\)
\(\Leftrightarrow n^3-n⋮3\)(4)
Từ (3), (4) và ƯCLN(3,2)=1 suy ra \(n^3-n⋮3\cdot2\)
hay \(n^3-n⋮6\forall n\in N\)
a) Ta có: \(15^n+15^{n+2}=15^n+15^n\cdot225\)
\(=15^n\cdot\left(1+225\right)=15^n\cdot226=2\cdot15^n\cdot113⋮113\forall n\in N\)
c) Ta có: \(50^{n+2}-50^{n+1}\)
\(=50^n\cdot2500-50^n\cdot50\)
\(=50^n\cdot\left(2500-50\right)=50^n\cdot2450\)
\(=10\cdot50^n\cdot245⋮245\forall n\in N\)(đpcm)
\(A=31^n-15^n-24^n+8^n=\left(31^n-15^n\right)-\left(24^n-8^n\right)\)
\(=BS16-BS16=BS16⋮16\) (1)
\(A=\left(31^n-24^n\right)-\left(15^n-8^n\right)=BS7-BS7=BS7⋮7\) (2)
Mà (16,7) = 1; 112 = 16.7 \(\Rightarrow A⋮112\)
Ta có : (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22
= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)
= 5n(5n + 4)
Vì 5 5 nên 5n(5n + 4)
5 ∀n ∈ Z.
a) Với \(n\in N\Rightarrow2^{4n}-1=16^n-1=\left(16-1\right).\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+1\right)\)
\(=15.\left(16^{n-1}+16^{n-2}+...+1\right)⋮15\)
b) Với \(n\in N\Rightarrow16^n-15n-1=\left(16^n-1\right)-15n\)
mà \(\left(16^n-1\right)⋮15\left(cma\right);15n⋮15\)
\(\Rightarrow16^n-15n-1⋮15\)
a) Phân tích 15 n + 15 n + 2 = 113.2. 15 n .
b) Phân tích n 4 – n 2 = n 2 (n - 1)(n +1).