Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(r^2+p^2+4Rr=\left(\dfrac{S}{p}\right)^2+p^2+\dfrac{abc}{S}.\dfrac{S}{p}\)
\(=\dfrac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}+p^2+\dfrac{abc}{p}\)
\(=\dfrac{p^3+\left(ab+bc+ac\right)p-p^2\left(a+b+c\right)-abc+p^3+abc}{p}\)
\(=ab+bc+ca\)
Do đó:
\(\dfrac{ab+bc+ca}{4R^2}=\dfrac{r^2+p^2+4Rr}{4R^2}\)
\(\Leftrightarrow sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA=\dfrac{r^2+p^2+4Rr}{4R^2}\)\(\left(đpcm\right)\)
bạn giải thích chi tiết đoạn này hộ mình được ko ạ
p^3+(ab+bc+ac)p−p^2(a+b+c)−abc+p^3+abc/p
=ab+bc+ca
Câu 1:
\(a.sin\left(B-C\right)=a.sinBcosC-a.cosB.sinC\)
\(bsin\left(C-A\right)=bsinC.cosA-bcosC.sinA\)
\(csin\left(A-B\right)=csinAcosB-csinB.cosA\)
Cộng lại:
\(VT=cosA\left(bsinC-c.sinB\right)+cosB\left(c.sinA-a.sinC\right)+cosC\left(a.sinB-bsinA\right)\)
\(=cosA\left(\frac{b.c}{2R}-\frac{bc}{2R}\right)+cosB\left(\frac{ac}{2R}-\frac{ac}{2R}\right)+cosC\left(\frac{ab}{2R}-\frac{ab}{2R}\right)=0\)
Câu 2:
\(sin^2A+sin^2B+sin^2C=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2A+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2B+1-cos^2C\)
\(=2-\frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B\right)-cosC.cosC\)
\(=2-cos\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)+cosC.cos\left(A+B\right)\)
\(=2+cosC.cos\left(A-B\right)+cosC.cos\left(A+B\right)\)
\(=2+cosC\left[cos\left(A-B\right)+cos\left(A+B\right)\right]\)
\(=2+2cosA.cosB.cosC\)
Câu 3:
Ta có \(sin^2\frac{A}{2}=\frac{1-cosA}{2}=\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}=\frac{a^2-b^2-c^2+2bc}{4bc}=\frac{a^2-\left(b-c\right)^2}{4bc}\)
\(=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4bc}=\frac{\left(p-c\right)\left(p-b\right)}{bc}\Rightarrow sin\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{bc}}\)
Tương tự ta có \(sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{\left(p-a\right)\left(p-c\right)}{ac}}\) ; \(sin\frac{C}{2}=\sqrt{\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}{ab}}\)
\(\Rightarrow4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=4\left(\frac{abc}{4S}\right)\sqrt{\frac{\left(p-a\right)^2\left(p-b\right)^2\left(p-c\right)^2}{a^2b^2c^2}}\)
\(=\frac{abc.\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{S.abc}=\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{S}=\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}=\sqrt{\frac{\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p}}=r\)
1) \(sin\left(A+2B+C\right)=sin\left(\pi-B+2B\right)\)
=\(sin\left(\pi+B\right)=sin\left(-B\right)=-sinB\)
2) \(sinBsinC-cosBcosC=-cos\left(B+C\right)\)
\(=-cos\left(\pi-A\right)=cosA\)
4) bạn ơi +2 vào vế phải mới đúng nhé
2+ \(2cosAcosBcosC=\left[cos\left(A+B\right)+cos\left(A-B\right)\right]cosC+2\)
\(=cos\left(\pi-C\right)cosC+cos\left(A-B\right)cos\left(\pi-\left(A+B\right)\right)+2\)
=\(-cos^2C-cos\left(A-B\right)cos\left(A+B\right)+2\)
\(=-cos^2C-\frac{1}{2}\left(cos2A+cos2B\right)+2\)
\(=-cos^2C-\frac{1}{2}\left(2cos^2A-1\right)-\frac{1}{2}\left(2cos^2B-1\right)+2\)
\(=-cos^2C-cos^2A+\frac{1}{2}-cos^2C+\frac{1}{2}+2\)
= sin2C - 1 + sin2A - 1 + sin2C - 1 + 3
= sin2A + sin2B + sin2C
1) Bất đẳng thức cần chứng minh
\(\Leftrightarrow\) a2 + b2 + c2 + d2 + \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)\)
Nếu : ac + bd < 0 : BĐT luôn đúng
Nếu : ac + bd \(\ge\) 0 : Thì (1) tương đương
( ac + bd )2 \(\le\) ( a2 + b2 )( c2 + d2 )
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2abcd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abcd\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad-bc\right)^2\ge0\) , luôn đúng , vậy bài toán được chứng minh
2) Chọn :\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\cos x.\cos y\\c=2\sin x.\sin y\\b=d=\sin\left(x-y\right)\end{matrix}\right.\)
Từ câu 1) ta có :
\(\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\)
\(\ge\sqrt{\left(2\cos x.\cos y+2\sin x.\sin y\right)^2+\left(2\sin\left(x-y\right)\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{4\cos^2\left(x-y\right)+4\sin^2\left(x-y\right)}=2\)
Ta có: B O C ^ = 2 B A C ^ , C O A ^ = 2 C B A ^ , A O B ^ = 2 A C B ^
( góc ở tâm gấp 2 lần số đo góc nội tiếp cùng chắn 1 cung )
S = S O A B + S O B C + S O C A
= 1 2 O A . O B . sin A O B ^ + 1 2 O B . O C . sin B O C ^ + 1 2 O C . O A . sin C O A ^
S = 1 2 R 2 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C .
ĐÁP ÁN A