Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vì (C) đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt \(y=\frac{ax^2-bx}{x-1}\) ta có \(\frac{5}{2}=\frac{a+b}{-2}\Rightarrow a+b=-5\)
vì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm O có hệ số góc =-3 suy ra y'(O)=-3
ta có \(y'=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\) ta có y'(O)=b=-3 suy ra a=-2
vậy ta tìm đc a và b
hoành độ giao điểm là nghiệm của pt
\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)
giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau
\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)
ta đc điều phải cm
hoành độ giao điểm là nghiệm của pt
\(x^3+3x^2+mx+1=1\Leftrightarrow x\left(x^2+3x+m\right)=0\)
\(x=0;x^2+3x+m=0\)(*)
để (C) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\(\Delta=3^2-4m>0\) và \(0+m.0+m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\)
từ pt (*) ta suy ra đc hoành độ của D, E là nghiệm của (*)
ta tính \(y'=3x^2+6x+m\)
vì tiếp tuyến tại Dvà E vuông góc
suy ra \(y'\left(x_D\right).y'\left(x_E\right)=-1\)
giải pt đối chiếu với đk suy ra đc đk của m
\(\left(C_1\right)\) có dạng \(y=x^3-3x\)
Gọi điểm A(a;2) là điểm kẻ đc 3 tiếp tuyến đến C do đề bài yêu cầu tìm điểm thuộc đường thẳng y=2
ta tính \(y'=3x^2-3\)
gọi \(B\left(x_0;y_0\right)\) là tọa độ tiếp điểm
phương trình tiếp tuyến tại điểm B có dạng
\(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\)
suy ra ta có \(y=\left(3x^2_0-3\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-3x_0\)
do tiếp tuyến đi qua điểm A suy ra tọa độ của A thỏa mãn pt tiếp tuyến ta có
\(2=\left(3x^2_0-3\right)\left(a-x_0\right)+x_0^3-3x_0\Leftrightarrow-\left(3x^2_0-3\right)\left(a-x_0\right)+x_0^3-3x_0-2=0\Leftrightarrow-3\left(x_0-1\right)\left(1+x_0\right)\left(a-x_0\right)+\left(1+x_0\right)^2\left(x_0-2\right)=0\)(*)
từ pt * suy ra đc 1 nghiệm \(x_0+1=0\Rightarrow x_0=-1\) hoặc\(-3\left(x_0-1\right)\left(a-x_0\right)+\left(1+x_0\right)\left(x_0-2\right)=0\)(**)
để qua A kẻ đc 3 tiếp tuyến thì pt (*) có 3 nghiệm phân biệt
suy ra pt (**) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
từ đó ta suy ra đc a để pt có 2 nghiệm phân biệt khác -1
suy ra đc tập hợ điểm A để thỏa mãn đk bài ra
Chọn đáp án A
Chú ý: Ta có một số bài toán có thể giải bằng công thức tính nhanh
tại M tạo với hai tiệm cận
a. Một tam giác vuông cân.
b. Một tam giác vuông có cạnh huyền nhỏ nhất.
c. Một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
d. Một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.
e. Một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
5. Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại và song song với nhau đồng thời MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Công thức tính nhanh cho các bài toán trên như sau:
Hoành độ điểm M(hoặc hoành độ hai điểm M và N) cần tìm là nghiệm của phương trình y ' 2 = 1
Đáp án B
Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm hai đường tiệm cận. (C) có tiệm cận đứng là x=-1, tiệm cận ngang là y=2 => I(-1;2)
Ta có: y ' = 1 x + 1 2 ⇒ PTTT tại điểm M a ; b là y = 1 a + 1 2 x − a + 2 a + 1 a + 1 . Từ đây ta xác định được giao điểm của PTTT tại M a ; b và hai tiệm cận x = − 1 , y = 2 là A − 1 ; 2 a a + 1 , B 2 a + 1 ; 2 .
Độ dài các cạnh của Δ I A B như sau
I A = 2 a a + 1 − 2 = 2 a + 1 I B = 2 a + 1 + 1 = 2 a + 1 A B = 2 1 a + 1 2 + a + 1 2 ⇒ S I A B = 1 2 I A . I B = 2 ;
P = I A + I B + A B 2 = 1 a + 1 + a + 1 + 1 a + 1 2 + a + 1 2
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có p ≥ 2 + 2 đạt được ⇔ a + 1 = 1 ⇔ a = 0 ⇒ b = 1 a = − 2 ⇒ b = 3 ⇒ a + b = 1
vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left(-1;\frac{5}{2}\right)\) nên tọa độ của A thỏa mãn phương trình sau: \(\frac{a+b}{-2}=\frac{5}{2}\Rightarrow a+b=-5\)(*)
ta tính y' có:
\(y'=\frac{\left(2ax-b\right)\left(x-1\right)-\left(ax^2-bx\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{2ax^2-2ax-bx+b-ax^2+bx}{\left(x-1\right)^2}=\frac{ax^2-2ax+b}{\left(x-1\right)^2}\)
vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm O(0;0) bằng 3 nên \(y'\left(O\right)=\frac{b}{\left(0-1\right)^2}=-3\Rightarrow b=-3\)
thay b=-3 vào (*) ta tìm được a=-2
vậy a=-2;b=-3
Đáp án B
Điểm M ∈ C ⇒ M a ; 2 a + 1 a + 1 ⇒ y ' a = 1 a + 1 2
và y a = 2 a + 1 a + 1 .
Suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M là
y = 2 a + 1 a + 1 = 1 a + 1 2 x − a ⇔ y = x a + 1 2 + 2 a 2 + 2 a + 1 a + 1 2 d .
Đường thẳng ( d ) cắt tiệm cận đứng tại
A − 1 ; 2 a a + 1 ⇒ I A = 2 a + 1 .
Đường thẳng ( d ) cắt tiệm cận ngang tại
B 2 a + 1 ; 2 ⇒ I B = 2 a + 1 .
Suy ra I A . I B = 4 và tam giác IAB vuông tại I
⇒ S Δ I A B = 1 2 . I A . I B = 2
Mà S Δ I A B = I A + I B + I C 2 x r ⇒ r m ax
khi và chỉ khi I A + I B + I C min
Ta có
I A + I B + I C = I A + I B + I A 2 + I B 2 ≥ 2 I A . I B + 2 I A . I B = 4 + 4 2 .
Dấu “=” xảy ra
⇔ 2 a + 1 = 2 a + 1 ⇔ a + 1 2 = 1 ⇔ a = 0 ⇒ b = 1 a = − 2 ⇒ b = 3 ⇒ a + b = 1.
Chọn đáp án B
Đạo hàm
Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại ∆ nên có hệ số góc là
Phương trình ∆
Đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng là ∆ 1 : x = - 1 và đường tiệm cận ngang là ∆ 2 : y = 1
Nửa chu vi tam giác IMN là
Dấu "=" xảy ra khi
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IMN là