Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phương trình hoành độ giao điểm : \(-x^4+2\left(2+m\right)x^2-3-2m=0\left(1\right)\)
Đặt \(t=x^2,\left(t\ge0\right)\), phương trình (1) trở thành : \(t^2-1\left(m+2\right)t+3+2m=0\left(2\right)\)
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Điều kiện là : \(\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+2m+1>0\\m+2>0\\3+2>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m>-\frac{3}{2}\end{cases}\) (*)
Với điều kiện (*), giả sử \(t_1;t_2\) (\(0 < t 1 < t2 \) là 2 nghiệm phân biệt của (2), khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt là \(x_1=-\sqrt{t_2};x_2=-\sqrt{t_1};x_3=\sqrt{t_1};x_4=\sqrt{t_2};\)
\(x_1;x_2;x_3;x_4\) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi :
\(x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3\)
\(\Leftrightarrow t_2=9t_1\left(a\right)\)
Áp dụng định lí Viet ta có : \(t_1+t_2=2\left(m+2\right);t_1.t_2=3+2m\left(b\right)\)
Từ (a) và (b) ta có : \(9m^2-14m-39=0\)
Đối chiếu điều kiện (*) ta có \(m=3\) hoặc \(m=-\frac{13}{9}\)
Giải:
a) Xét \(y'=3x^2+2mx\)
Ta thấy \(y'=3x^2+2mx=0\) có \(\Delta'=m^2>0\forall m\neq 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m\neq 0\)
b) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của $m$ nghĩa là phương trình \(x^3+mx^2-1=0\) luôn có nghiệm dương với mọi \(m\)
Xét hàm $y$ liên tục trên tập xác định.
Nếu \(m>0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(m+1)=(m+1)^3+m(m+1)^2-1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(m+1)<0\)
Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0;m+1)\), tức là nghiệm dương.
Nếu \(m<0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(1-m)=m^2-2m>0\forall m<0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(1-m)<0\)
Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0,1-m)\) , tức nghiệm dương
Từ hai TH ta có đpcm.
c) Để pt có $3$ nghiệm phân biệt thì \(y'=3x^2+2mx\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(f(x_1)f(x_2)<0\)
Kết hợp với định lý Viete:
\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+m(x_1^2+x_2^2)-1>0\)
\(\Leftrightarrow 4m^3-27>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :
\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)
Biến đổi tương đương phương trình này :
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)
Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :
\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)
Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)
Đồ thị (C) cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình x3-3x2-1= m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.
Suy ra đường thẳng y=m đi qua điểm uốn của đồ thị y=x3-3x2-1 (do đồ thị (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).
Mà điểm uốn của y= x3-3x2-1 là I(1 ; -3) .
Suy ra m=-3.
Chọn C.
+ Đồ thị C cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình x3- 3x2- 1=m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.
+ Suy ra đường thẳng y= m đi qua điểm uốn của đồ thị y= x3- 3x2- 1
(do đồ thị (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng).
+ Mà điểm uốn của đồ thị đã cho là I( 1 ; -3)
( hoành độ điểm uốn là nghiệm phương trình y’’= 0 hay y’’= 6x-6=0 do đó x= 1 ; y= -3)
Suy ra m= -3.
Chọn C.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^3-3mx^2+6mx-8=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^2-\left(3m-2\right)x+4\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x^2-\left(3m-2\right)x+4=0\end{matrix}\right.\)
Để (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt \(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-\left(3m-2\right)x+4=0\) có 2 nghiệm pb khác 2
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(3m-2\right)^2-16>0\\f\left(2\right)=4-2\left(3m-2\right)+4\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
- Với \(m>2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m-2>3.2-2=4>0\\x_1x_2=4>0\\f\left(2\right)=12-6m< 12-6.2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1< 2< x_2\)
Do 3 nghiệm lập thành cấp số nhân \(\Rightarrow x_1x_2=2^2=4\) (đúng)
\(\Rightarrow\) Với mọi \(m>2\) thì 3 nghiệm pt luôn tạo thành CSN
- Với \(m< -\frac{3}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3m-2< 0\\x_1x_2=4>0\\f\left(2\right)=12-6m>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_2< x_1< 0< 2\)
Để 3 nghiệm lập thành CSN \(\Leftrightarrow x_1^2=2x_2\) \(\Rightarrow x_2=\frac{x_1^2}{2}>0\) ko thỏa mãn
Vậy \(m=\left\{3;4;5\right\}\Rightarrow\) có 3 giá trị nguyên
Phương trình hoành độ giao điểm: x4-(3m+4) x2+ m2 = 0 ( 1)
Đặt t= x2, phương trình trở thành: t2-(3m+4)t+ m2 = 0 ( 2)
C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi ( 1) có bốn nghiệm phân biệt
Khi đó ( 2) có hai nghiệm dương phân biệt
+ Khi đó phương trình *(2) có hai nghiệm 0<t1< y2. Suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt là x 1 = - t 2 < x 2 = - t 1 < x 3 = t 1 < x 4 = - t 2 . Bốn nghiệm x1; x2; x3; x4 lập thành cấp số cộng
⇔ x 2 - x 1 = x 3 - x 2 = x 4 - x 3 ⇔ - t 1 + t 2 = 2 t 1 ⇔ t 2 = 3 t 1 ⇔ t 2 = 9 t 1 ( 3 )
Theo định lý Viet ta có t 1 + t 2 = 3 m + 4 ( 4 ) t 1 t 2 = m 2 ( 5 )
Từ (3) và (4) ta suy ra được t 1 = 3 m + 4 10 t 2 = 9 ( 3 m + 4 ) 10 ( 6 ) .
Thay (6) vào (5) ta được
Vậy giá trị m cần tìm làm =12; m= -12/ 19
Chọn B.