Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(d:y=mx-m-2\)
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :
\(\frac{x-3}{1-x}=mx-m-2\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne1\\mx^2-\left(2m+1\right)x+m-1=0\end{cases}\)
Điều kiện để cắt nhau tại hai điểm phân biệt là : \(\begin{cases}m\ne0\\m>-\frac{1}{8}\end{cases}\)
Gọi \(M\left(x_1;y_1\right);N\left(x_2;y_2\right)\) khi đó \(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2m+1}{m}\\x_1x_2=\frac{m-1}{2}\end{cases}\)
Ta có \(\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{AN}\Rightarrow x_1=3-2x_2\)
Từ đó ta có m = 1
\(\frac{2x-1}{-x-1}=-2x+m\Leftrightarrow\begin{cases}2x^2-\left(m+4\right)x+1=0\left(1\right)\\x\ne1\end{cases}\)
Đường thẳng y=-2x+m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m+4\right)^2-8\left(m+1\right)>0\\-1\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m^2+8>0\) với mọi m
Vậy với mọi m, đường thẳng y=x+m luôn cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1\ne x_2\)
Theo Viet : \(x_1+x_2=\frac{4+m}{2},x_1.x_2=\frac{m+1}{2}\)
\(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow\frac{m+1}{2}-4\left(\frac{m+4}{2}\right)=\frac{7}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{22}{3}\)
Vậy \(m=-\frac{22}{3}\) thì đường thẳng \(y=-2x+m\) cắt đồ thì (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \(x_1,x_2\) và \(x_1x_2-4\left(x_1+x_2\right)=\frac{7}{2}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là \(-x+m=\frac{x^2-1}{x}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\) (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))
Vì ac < 0 nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác không
Do đó đồ thị và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt :
\(A\left(x_1;-x_1+m\right);B\left(x_2;-x_2+m\right)\)
\(AB=4\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(-x_2+m+x_1+m\right)^2}=4\)
\(\Leftrightarrow2\left(x_2-x_1\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2+x_1\right)^2-4x_2x_1=8\)
Áp ụng định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_2+x_1=\frac{m}{2}\\x_2x_1=-\frac{1}{2}\end{cases}\)
\(AB=4\Leftrightarrow\frac{m^2}{4}+2=8\Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{6}\)
Vậy \(m=\pm2\sqrt{6}\) là giá trị cần tìm
Hoành độ giao điểm của d : y = mx+2 với (C) là nghiệm phương trình :
\(\begin{cases}x>0\\\log^2_2x-\log_2x^2-3\ge0\end{cases}\)
Dễ thấy với m = 0 thì (1) vô nghiệm. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1. Điều kiện là
\(\begin{cases}\Delta>0\\m\left(-1\right)^2+m\left(-1\right)+3\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m^2-12m>0\) \(\Leftrightarrow m<0\) hoặc m > 12 (*)
Với (*) giả sử x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của (1), khi đó tọa độ các giao điểm là :
\(A\left(x_1;mx_1+2\right);B\left(x_2;mx_2+2\right)\)
Dễ thất điểm O không thuộc d nên ABO là một tam giác.
Tam giác ABO vuông tại O khi và chỉ khi :
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow\left(1+m^2\right)x_1x_2+2m\left(x_1+x_2\right)+4=0\)
Áp dụng định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=-1;x_1x_2=\frac{3}{m}\)
Thay vào trên ta được :
\(m^2+4m+3=0\Leftrightarrow m=-3\) hoặc \(m=-1\) (thỏa mãn (*)
Vậy \(m=-3\) hoặc \(m=-1\)
Phương trình hoành độ giao điểm \(3x^2+2mx+3m-4=0\left(1\right)\) với x. Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
\(\Leftrightarrow\begin{cases}9m^2-36m+48>0\\0.m-1\ne0\end{cases}\) (đúng với mọi m)
Gọi \(x_1;x_2\) là các nghiệm của phương trình (1), ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=\frac{3m-4}{3}\end{cases}\) (*)
Giả sử \(A\left(x_1;x_1+m\right);B\left(x_2;x_2+m\right)\)
Khi đó ta có \(OA=\sqrt{x^2_1+\left(x_1+m\right)^2};OA=\sqrt{x^2_2+\left(x_2+m\right)^2}\)
Kết hợp (*) ta được \(OA=OB=\sqrt{x_1^2+x_2^2}\)
Suy ra tam giác OAB cân tại O
Ta có \(AB=\sqrt{2\left(x_1-x_2\right)^2}\). Tam giác OAB đều \(\Leftrightarrow OA^2=AB^2\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=2\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m+8=0\Leftrightarrow m=2\) hoặc m=4
Bài 1:
ĐKXĐ:.............
Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\cap (C)\):
\(2(x-m)-\frac{2x-m}{mx+1}=0\Leftrightarrow m(2x^2-2mx-1)=0\)
Nếu \(m=0\Rightarrow (d)\equiv C\) (vô lý) nên $m\neq 0$ . Do đó \(2x^2-2mx-1=0\). $(1)$
Hai điểm $A,B$ có hoành độ chính là nghiệm của phương trình $(1)$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(d(O,AB)=\frac{|-2m|}{\sqrt{5}}\); \(AB=\sqrt{(x_1-x_)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{5(m^2+2)}\)
\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{d(O,AB).AB}{2}=|m|\sqrt{m^2+2}\)
Mặt khác, dễ dàng tính được \(M(m,0),N(0,-2m)\) nên \(S_{OMN}=\frac{OM.ON}{2}=\frac{|m||-2m|}{2}=m^2\)
Ta có \(S_{OAB}=3S_{OMN}\Leftrightarrow |m|\sqrt{m^2+2}=3m^2\)
\(\Rightarrow m=\pm \frac{1}{2}(m\neq 0)\)
Bài 2:
Ta có \(A(1,0,1)\in (d_1);B(3,5,4)\in (d_2); \overrightarrow{u_{d_1}}=(-1,1,1);\overrightarrow{u_{d_2}}=(4,-2,1)\)
Dễ thấy \([\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]\overrightarrow{AB}\neq 0\) nên suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chéo nhau
Gọi \(\overrightarrow{n_P}\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$
Khi đó \(\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]=(3,5,-2)\)
Vì $(P)$ đi qua $(d_1)$ nên $(P)$ đi qua $A$. Do đó PTMP là:
\(3(x-1)+5y-2(z-1)=0\Leftrightarrow 3x+5y-2z-1=0\)
Phương trình hoành độ giao điểm: m x - 1 x + 2 = 2 x - 1 ( 1 )
Điều kiện: x ≠ - 2 Khi đó
(1) Suy ra: mx-1=(2x-1) (x+2) hay 2x2-(m-3)x-1=0 (2)
Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A; B khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( 2) có hai nghiệm phân biệt khác -2
⇔ ∆ = [ - ( m - 3 ) ] 2 + 8 > 0 8 + 2 m - 6 - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ - 1 2 ( * )
Đặt A( x1; 2x1-1); B( x2; 2x2-1) với x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (2).
Theo định lý Viet ta có
x 1 + x 2 = m - 3 2 x 1 x 2 = - 1 2 , k h i đ ó
A B = ( x 1 - x 2 ) 2 + 4 ( x 1 - x 2 ) 2 = 10 ⇔ 5 [ ( x 1 + x 2 ) 2 - 4 x 1 x 2 ] = 10 ⇔ ( m - 3 2 ) 2 + 2 = 2 ⇔ m = 3
thỏa (*).
Vậy giá trị m cần tìm là m =3.