Question

[Tung Cao]

Tìm n biết rằng: n³ - n² + 2n + 7 chia hết cho n² + 1.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
** Bổ sung thêm điều kiện $n$ là số nguyên.

$n^3-n^2+2n+7\vdots n^2+1$

$\Rightarrow n(n^2+1)-(n^2+1)+n+8\vdots n^2+1$

$\Rightarrow n+8\vdots n^2+1(1)$

$\Rightarrow n(n+8)\vdots n^2+1$

$\Rightarrow n^2+1+(8n-1)\vdots n^2+1$
$\Rightarrow 8n-1\vdots n^2+1(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow 8(n+8)-(8n-1)\vdots n^2+1$

$\Rightarrow 65\vdots n^2+1$

Vì $n^2+1\geq 1$ nên $n^2+1\in \left\{1; 5; 13; 65\right\}$

$\Rightarrow n\in \left\{0; \pm 2; \pm 8\right\}$ (do $n$ nguyên)