Question

[trần vũ hoàng phúc]

ừ điểm M nằm ngoài (O),kẻ tiếp tuyến MA với (O) (A là tiếp điểm ).Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại H và cắt (O) tại B (B khác A).kẻ đường kính AC của (O).Tiếp tuyến tại C của (O) cắt đường thẳng AB tại E
a,c/minh 4 điểm E,H,O,C cùng thuộc một đường tròn
b,chứng minh \(\Delta AMB\) cân

c,Chứng minh BE.BM=BC.BO

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác EHOC có

\(\widehat{EHO}+\widehat{ECO}=90^0+90^0=180^0\)

=>EHOC là tứ giác nội tiếp

=>E,H,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Ta có: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AB

Xét ΔMAB có

MH là đường cao

MH là đường trung tuyến

Do đó: ΔMAB cân tại M

c: ΔABC vuông tại B

=>AB\(\perp\)BC

Ta có: AB\(\perp\)BC

OM\(\perp\)AB

Do đó: OM//BC

Ta có: \(\widehat{ECB}+\widehat{E}=90^0\)(ΔBCE vuông tại B)

\(\widehat{E}+\widehat{CAB}=90^0\)(ΔCAE vuông tại C)

Do đó: \(\widehat{ECB}=\widehat{CAB}\)

mà \(\widehat{CAB}=\widehat{OBH}\)(ΔOBA cân tại O)

và \(\widehat{OBH}=\widehat{OMB}\left(=90^0-\widehat{HOB}\right)\)

nên \(\widehat{ECB}=\widehat{OMB}\)

Xét ΔBEC vuông tại B và ΔBOM vuông tại B có

\(\widehat{BCE}=\widehat{BMO}\)

Do đó: ΔBEC đồng dạng với ΔBOM

=>\(\dfrac{BE}{BO}=\dfrac{BC}{BM}\)

=>\(BE\cdot BM=BC\cdot BO\)