Question

[Kochou Shinobu]

Cho tam giác ABC .Trên cạnh AC lấy N sao cho AC gấp 4 lần AN .Trên BC lấy M sao cho BM bằng MC nối M với N kéo dài cạnh AB và cạnh MN sao cho chúng cắt nhau tại P

a} Biết diện tích tam giác APN là 100 cm2. Tính diện tích tam giác ABC.

b}So sánh đoạn PN và MN

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Xét tg BMP và tg CMP có chung đường cao từ P->BC nên

\(\frac{S_{BMP}}{S_{CMP}}=\frac{BM}{CM}=1\Rightarrow S_{BMP}=S_{CMP}\)

Hai tg trên lại chung cạnh PM nên đường cao từ B->PM = đường cao từ C->PM

Xét tg BNP và tg CNP có chung cạnh PN và đường cao từ B->PM = đường cao từ C->PM nên

\(S_{BNP}=S_{CNP}\)

Theo đề bài \(AC=4xAN\Rightarrow AN+NC=4xAN\Rightarrow NC=3xAN\Rightarrow\frac{AN}{NC}=\frac{1}{3}\)

Xét tg APN và tg CNP có chung đường cao từ P->AC nên

\(\frac{S_{APN}}{S_{CNP}}=\frac{AN}{NC}=\frac{1}{3}\Rightarrow S_{CNP}=3xS_{APN}\)

Mà \(S_{BNP}=S_{CNP}\Rightarrow S_{BNP}=3xS_{APN}\)

\(\Rightarrow S_{APN}+S_{ABN}=3xS_{APN}\Rightarrow S_{ABN}=2xS_{APN}\)

Xét tg ABN và tg NBC có chung đường cao từ B->AC nên

\(\frac{S_{ABN}}{S_{NBC}}=\frac{AN}{NC}=\frac{1}{3}\Rightarrow S_{NBC}=3xS_{ABN}=3x2xS_{APN}=6xS_{APN}\)

\(S_{ABC}=S_{ABN}+S_{NBC}=2xS_{APN}+6xS_{APN}=8xS_{APN}=8x100=800cm^2\)

b/

Xét tg BMN và tg NBC có chung đường cao từ N->BC nên

\(\frac{S_{BMN}}{S_{NBC}}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{BMN}=\frac{S_{NBC}}{2}=\frac{6xS_{APN}}{2}=3xS_{APN}\)

Xét tg BNP và tg BMN có chung đường cao từ B->PM nên

\(\frac{S_{BNP}}{S_{BMN}}=\frac{PN}{MN}=\frac{3xS_{APN}}{3xS_{APN}}=1\Rightarrow PN=MN\)