Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(A=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2,B=n,C=a_1+a_2+...+a_n\)
Ta cần chứng minh \(AB\ge C^2\).
Dễ thấy nếu \(A=0\)hoặc \(B=0\)thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Xét với \(A,B\ne0\):
Với mọi \(x\)ta có:
\(\left(a_1x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a_1^2x^2-2a_1x+1\ge0\)
\(\left(a_2x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a_2^2x^2-2a_2x+1\ge0\)
...
\(\left(a_nx-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a_n^2x^2-2a_nx+1\ge0\)
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên lại ta có:
\(\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)x^2-2x\left(a_1+a_2+...+a_n\right)+n\ge0\)
thay \(x=\frac{C}{A}\)vào ta được:
\(A.\frac{C^2}{A^2}-2C.\frac{C}{A}+B\ge0\Leftrightarrow AB\ge C^2\)
Dấu \(=\)khi \(a_1=a_2=...=a_n\).
a) Giả sử \(\sqrt{7}\)là số hữu tỉ.
\(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{a}{b}\left(a,b\inℤ;\left(a;b\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{7}b\)
\(\Rightarrow a^2=7b^2\)
\(\Rightarrow a^2⋮7\)
\(\Rightarrow a⋮7\)(do 7 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow a=7k\left(k\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow7b^2=49k^2\)
\(\Rightarrow b^2=7k^2\)
\(\Rightarrow b^2⋮7\)
\(\Rightarrow b⋮7\)(do 7 là số nguyên tố)
\(\Rightarrow a;b\in B\left(7\right)\)
\(\Rightarrow\)Mẫu thuẫn với (a;b)=1
\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\sqrt{7}\)là số vô tỉ
\(a,M=\dfrac{\left(x-\sqrt{2}\right)^2}{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}=\dfrac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\\ b,N=\dfrac{x+\sqrt{5}}{\left(x+\sqrt{5}\right)^2}=\dfrac{1}{x+\sqrt{5}}\)
\(N=\dfrac{x+\sqrt{5}}{x^2+2x\sqrt{5}+5}=\dfrac{1}{x+\sqrt{5}}\)