Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M O C B A E I H K D
a) Xét đường tròn (O) có tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC => MA2 = MB.MC (Hệ thức lượng đường tròn) (đpcm)
Xét \(\Delta\)MOA vuông tại A, đường cao AH => MA2 = MH.MO (Hệ thức lượng tam giác vuông) (đpcm)
b) Từ câu a ta có: MB.MC = MH.MO (=AM2) => \(\Delta\)MBH ~ \(\Delta\)MOC (c.g.c) => ^MHB = ^MCO
=> Tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn (đpcm).
c) Áp dụng ĐL Pytagore, ta có các đẳng thức về cạnh:
IK2 = OI2 - OK2 = OI2 - OA2 = (OM - IM)2 - OA2 = OM2 - 2.OM.IM + IM2 - OA2 = AM2 - MH.MO + IM2
= AM2 - AM2 + IM2 = IM2 => IK = IM. Do đó: IK = IM = IH = MH/2
Xét \(\Delta\)MKH có: Trung tuyến KI=MH/2 (cmt) => \(\Delta\)KMH vuông tại K (đpcm).
d) Từ câu a: \(MA^2=MB.MC=\frac{MC}{4}.MC=\frac{MC^2}{4}\) => MA = MC/2 = MD
Từ đó: MA2 = MD2 = MH.MO => \(\Delta\)MDH ~ \(\Delta\)MOD (c.g.c) => ^MDH = ^MOD = 1/2.Sđ(HD(ODH)
Suy ra: MC tiếp xúc với đường tròn (ODH) (đpcm).
A B M O C D K H I
1) Xét tứ giác OKAC: ^OKC=900; ^OAC=900 (Do MA là tiếp tuyến của (O))
=> Tứ giác OKAC là tứ giác nội tiếp đường tròn. (Tâm là trung điểm OC)
Xét tứ giác OKDB: ^OKD=^OBD=900 => Tứ giác OKDB nội tiếp đường tròn. (Tâm là trung điểm OD)
2) Ta có: Tứ giác OKAC nội tiếp đường tròn => ^OCK=^OAK.
Lại có: \(\Delta\)AOB cân tại O => ^OAB=^OBA hay ^OAK=^OBK
=> ^OCK=^OBK. Mà tứ giác OBDK nội tiếp đường tròn => ^OBK=^ODK
Nên ^OCK=^ODK => \(\Delta\)COD cân tại O => OC=OD (đpcm).
3) Nối D với H.
Xét \(\Delta\)COD cân tại O có OK là đường cao => OK đồng thời là đường trung tuyến => CK=DK.
Xét \(\Delta\)CAK và \(\Delta\)DHK: AK=HK; ^CKA=^DKH (Đối đỉnh); CK=DK
=> \(\Delta\)CAK = \(\Delta\)DHK (c.g.c) => ^ACK = ^HDK (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc trên ở vị trí so le trg nên AC // HD hay AM // HD.
Xét \(\Delta\)AMB: MA=MB (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) => \(\Delta\)AMB cân tại M.
Lại có: MO hay MH là phân giác ^AMB => MH là đường trung tuyến => H là trung điểm AB.
Ta thấy: \(\Delta\)AMB có H là trung điểm AB; HD // AM ; D thuộc BM => D là trung điểm BM
Mà I là trung điểm AM => ID là đường trung bình của \(\Delta\)MAB => ID // AB
Dễ thấy MO vuông góc AB tại H => ID vuông góc với MO (Quan hệ //, vg góc) (đpcm).
d: CK/AD=CB/AB
=>AD*CB=CK*AB=AB*DK
=>DK/CB=AD/AB
=>ΔBCA đồng dạng với ΔDKA
=>góc BAC=góc DAK
AM vuông góc OA
EF vuông góc OA
=>AM//EF
=>góc AEF=góc MAC=góc ADC
=>ΔADC đồng dạng với ΔAEF
=>CD/EF=AD/AE
góc EAH=góc KAD; góc AEH=góc ADK
=>ΔAEH đồng dạng với ΔADK
=>DK/EH=AD/AE
=>CD/EF=DK/EH
=>EH=FH
a, Xét \(\Delta\)ABM và \(\Delta\)CAM có:
góc BAM = góc ACM (= \(\frac{1}{2}\)sđ cung AB)
góc M - chung
=> hai tam giác trên đồng dạng (g.g)
=> \(\frac{AM}{CM}\)= \(\frac{BM}{AM}\)( cặp canh tương ứng)
=> AM2 = BM.CM (đpcm)
b,+> Nối AO. Xét \(\Delta\)OAM và \(\Delta\)AHM có:
góc OAM = góc AHM (= 90o)
góc M - chung
=> hai tam giác này đồng dạng => \(\frac{AM}{HM}\)= \(\frac{OM}{AM}\)(cặp cạnh tương ứng) => AM2 = OM.HM mà theo câu a, AM2= MB.MC
=>MB.MC = MH.MO (đpcm)
+> Xét \(\Delta\)MBH và \(\Delta\)MOC có:
\(\frac{AM}{HM}\) = \(\frac{OM}{AM}\) (c.m.t)
góc M-chung
=> hai tam giác này đồng dạng (c.g.c) => góc MBH = góc MOC ( cặp góc tương ứng)
mà góc HBM là góc ngoài tại đỉnh B, và góc MO là góc trong đối diện với góc B nên: tứ giác OHBC cùng thuộc một đường tròn (đpcm)