Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{a}-1=\frac{a+b+c}{a}-\frac{a}{a}=\frac{b+c}{a}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b}-1=\frac{c+a}{b};\frac{1}{c}-1=\frac{a+b}{c}\)
Nhân theo vế ta đc :
\(VT=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
Áp dụng bđt Cauchy :
\(VT\ge\frac{8abc}{abc}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)
Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)
Từ \(a+b+c=1\) thế vào biểu thức sau
\(\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)=\left(\frac{a+b+c}{a}-\frac{a}{a}\right)\left(\frac{a+b+c}{b}-\frac{b}{b}\right)\left(\frac{a+b+c}{c}-\frac{c}{c}\right)\)
\(=\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{a+b}{c}=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{abc}\)(1)
Với a,b,c>0 , Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (cauchy) cho hai số không âm ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};a+c\ge2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\ge\frac{8abc}{abc}=8\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{1}{3}\)
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
Tìm GTLN ko phải tìm GTNN
Ta có: \(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=1\) (*)
Lại có: \(\left(a+1\right)^2+b^2+1=a^2+b^2+2a+2\ge2ab+2a+2=2\left(ab+a+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)^2+b^2+1}\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}\) tương tự ta có:
\(\frac{1}{\left(b+1\right)^2+c^2+1}\le\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)};\frac{1}{\left(c+1\right)^2+a^2+1}\le\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\)
Cộng theo vế ta có: \(P\le\frac{1}{2\left(ab+a+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(ca+c+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)=\frac{1}{2}\) theo (*)
Dấu "=" khi a=b=c=1
Ta có \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\)
Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ; \(b+c\ge2\sqrt{bc}\); \(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)
Vậy \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8\)(đpcm)
Đề của bạn chưa đúng nhé :)
viết nhầm đề @@