Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(2-\sqrt{3}\right)^3+a\left(2-\sqrt{3}\right)^2+b\left(2-\sqrt{3}\right)-1=0\)
\(\Leftrightarrow7a+2b+25-\left(4a+b+15\right)\sqrt{3}=0\)
Do \(a,b\) hữu tỉ và \(\sqrt{3}\) vô tỉ
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}7a+2b+25=0\\4a+b+15=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-5\\b=5\end{matrix}\right.\)
Khi đó pt có dạng:
\(x^5-5x^2+5x-1=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-4x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x^2-4x+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Giả sử \(x_3=1\) và \(x_1;x_2\) là nghiệm của \(\left(1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=4^3-12=52\\x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4^2-2=14\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{x^5_1}+\dfrac{1}{x^5_2}+1=A+1\)
\(A=\dfrac{x_1^5+x_2^5}{\left(x_1x_2\right)^5}=x_1^5+x_2^5=\left(x_1^3+x_2^3\right)\left(x_1^2+x^2_2\right)-\left(x_1x_2\right)^2\left(x_1+x_2\right)\)
\(\Rightarrow A=52.14-4=724\)
\(\Rightarrow S=A+1=725\)
\(y_1+y_2=\left(x_1+x_2\right)+\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}\)
\(=\dfrac{-5}{3}+\dfrac{-5}{3}:\left(-2\right)=\dfrac{-5}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{-5}{6}\)
\(y_1y_2=\left(x_1+\dfrac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\dfrac{1}{x_1}\right)\)
\(=x_1x_2+2+\dfrac{1}{x_1x_2}=\left(-2\right)+2+\dfrac{1}{\left(-2\right)}=\dfrac{-1}{2}\)
Pt cần tìm có dạng là \(y^2+\dfrac{5}{6}y-\dfrac{1}{2}=0\)
Bài 1:
Trước tiên để pt có hai nghiệm thì:
\(\Delta'=2^2-(m+1)>0\Leftrightarrow m<3\)
Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2 là: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-4\\ x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)
Điều kiện: $x_1,x_2\neq 0$ \(\Leftrightarrow x_1x_2=m+1\neq 0\Leftrightarrow m\neq -1\)
Khi đó: \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{10}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow \frac{x1^2+x_2^2+2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{16}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}=\frac{16}{3}\Leftrightarrow \frac{(-4)^2}{m+1}=\frac{16}{3}\)
\(\Leftrightarrow m+1=3\Leftrightarrow m=2\) (thỏa mãn)
Vậy $m=2$
Bài 2 bạn xem lại đề bài.
a: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)
\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-4\cdot\left(-1\right)}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+4}\)
\(=\sqrt{\dfrac{17}{4}}\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}x_1-x_2=\dfrac{\sqrt{17}}{2}\\x_1-x_2=-\dfrac{\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)
c,d:Vì pt có hai nghiệm trái dấu
nên chắc chắn hai biểu thức này sẽ không tính được vì sẽ có một căn bậc hai mà biểu thức trong căn âm
Dùng định lí Viète vào pt cho ta:
\(\left\{{}\begin{matrix}S=x_1+x_2=2\\P=x_1x_2=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
a) \(A=\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1=-\dfrac{2}{3}\)
b)\(B=x_1\left(x_2-1\right)+x_2\left(x_1-1\right)=2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=-\dfrac{4}{3}\)
c)\(C=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2}=\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{2+2\sqrt{\dfrac{1}{3}}}\)
Tới đó hết giải được tiếp :)
d)\(D=x_1\sqrt{x_2}+x_2\sqrt{x_1}=\sqrt{x_1x_2}.\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)\) rồi thế kết quả câu C và biểu thức từ trên.
Lời giải:
Điều kiện: \(\Delta'=m^2-4m+7>0\) (luôn đúng)
Áp dụng định lý Viete, nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của PT trên thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-6\end{matrix}\right.\)
Do đó: \(A=\left ( \frac{x_1}{x_2} \right )^2+\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^2=\left (\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2}{(x_1x_2)^2}-2\)
\(A=\left ( \frac{x_1}{x_2} \right )^2+\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^2=\left (\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2\)
\(=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2}{(x_1x_2)^2}-2=\frac{[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2}{(x_1x_2)^2}-2=\frac{[4(m-1)^2-2(2m-6)]^2}{(2m-6)^2}-2=\frac{16(m-1)^4-16(m-1)^2(2m-6)}{(2m-6)^2}+2\)
Để \(A\in\mathbb{Z}\Rightarrow 16(m-1)^4-16(m-1)^2(2m-6)\vdots (2m-6)^2\)
\(\Leftrightarrow 4(m-1)^4-8(m-1)^2(m-3)\vdots (m-3)^2\)
Xét điều kiện yếu hơn, \(\) \(4(m-1)^4-8(m-1)^2(m-3)\vdots m-3\Leftrightarrow 4(m-1)^4\vdots m-3\)
\(\Leftrightarrow 4[(m-1)^4-2^4]+2^6\vdots m-3\)
Vì \((m-1)^4-2^4\vdots m-3\Rightarrow 2^6\vdots m-3\). Mà \(m\in\mathbb{Z}^+\Rightarrow m-3\in \left \{\pm 1,\pm 2,4,8,16,32,64\right\}\)
Thử lại ta thu được \(m\in \left \{1,2,4, 5,7,11\right\}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{5}{3}\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{x_1}{x_2-1}+\dfrac{x_2}{x_1-1}=\dfrac{x_1\left(x_1-1\right)+x_2\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}\)
\(=\dfrac{x_1^2+x_2^2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}\)
\(=\dfrac{\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2-2.\left(-2\right)-\left(-\dfrac{5}{3}\right)}{-2-\left(-\dfrac{5}{3}\right)+1}=...\)
Ta có: Δ=b2-4ac
Δ=(-3)2-4.2.1
Δ=1>0
⇒Pt luôn có 2 nghiệm
Theo hệ thức vi ét ta có:
x1.x2=1/2=0,5 : x1+x2=3/2=1,5
a,A=\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_{2_{ }}}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1.x_2}\) =\(\dfrac{1,5}{0,5}=3\)
b,B=\(\dfrac{1-x_1}{x_1}+\dfrac{1-x_2}{x_2}=\dfrac{1}{x_1}-1+\dfrac{1}{x_2}-1\)
B= 3 - 2 = 1
c,C=x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)
C=1,52 - 3 . 0,5 . 1,5 =0