Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Khó quá. Đúng là Câu Hỏi Hay!!
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên có:
\(A\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\dfrac{1}{abc}}=9\)
Khi \(a=b=c\)
Bài 2:
a)Sửa đề \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)
Khi \(x=y\)
b)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ta có:
\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{4}{2b}=\dfrac{2}{b}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c};\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\ge\dfrac{2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(2VT\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Khi \(a=b=c\)
Câu 1: Với \(a;b;c>0\), theo bất đẳng thức Cauchy:
\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\). Dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\)
Nhân theo vế ta được \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow MinA=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
(1 + a^2 ) + 1/(1+b^2) >= 2/( 1+ab)
<=> (1+ b^2)(1+ab) + (1+a^2)(1 +ab) >= 2(1+a^2)(1+ b^2)
<=>1 + b^2 +ab + ab^3 + 1 +a^2 +ab + a^3b - 2(1 +a^2 +b^2 +a^2b^2) >=0
<=> ab(a^2 - 2ab +b^2) - (a^2 +2ab +b^2) >= 0
<=> (ab -1)(a-b)^2 >= 0
Điều này hiển nhiên đúng do ab >= 1; (a-b)^2 >= 0
Dấu "=" khi và chỉ khi a =b =1
Bài 3:
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)
\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)
Theo BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)
Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bài 1: Thiếu đề.
Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)
Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
5) a) Đặt b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z thì 2a=y+z;2b=x+z;2c=x+y
Ta có:
\(\dfrac{2a}{b+c-a}+\dfrac{2b}{a+c-b}+\dfrac{2c}{a+b-c}=\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}+\dfrac{x+y}{z}=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)\ge6\)
Vậy ta suy ra đpcm
b) Ta có: a+b>c;b+c>a;a+c>b
Xét: \(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
.Tương tự:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
Vậy ta có đpcm
6) Ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge2ab+2cd+ab+cd=3\left(ab+cd\right)\)
\(ab+cd=ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\)
Suy ra đpcm
Bài 1:
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên \(b+c-a; c+a-b; a+b-c>0\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:
\(\frac{a^2}{b+c-a}+(b+c-a)\geq 2\sqrt{a^2}=2a\)
\(\frac{b^2}{a+c-b}+(a+c-b)\geq 2\sqrt{b^2}=2b\)
\(\frac{c^2}{a+b-c}+(a+b-c)\geq 2\sqrt{c^2}=2c\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}+a+b+c\geq 2(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\geq a+b+c\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương ta có:
\(ab+\frac{a}{b}\geq 2\sqrt{ab.\frac{a}{b}}=2a\)
\(ab+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{ab.\frac{b}{a}}=2b\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow 2(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a})\geq 2(a+b+1)\)
\(\Rightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq a+b+1\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
Ta có: \(\dfrac{a-1}{c}+\dfrac{c-1}{b}+\dfrac{b-1}{a}\)
= \(\dfrac{a-abc}{c}+\dfrac{c-abc}{b}+\dfrac{b-abc}{a}\)
= \(\dfrac{a(1-bc)}{c}+\dfrac{c(1-ab)}{b}+\dfrac{b(1-ac)}{a}\)
= \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{1-bc}{c}+\dfrac{1-ab}{b}+\dfrac{1-ac}{a}\)
a) Ta có: (a - 1)( b - 1)(c - 1) = abc - ab - bc - ac + a + b +c - 1 (*)
Mà abc =1 => (*) = (1 - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ac)
= ( a + b + c ) - ( ab + ac + bc)
\(\ge\) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) - ( ab + ac +bc )
= \(\dfrac{ab+ac+bc}{abc}\) - ab - ac - bc
= ab + bc + ac - ab - ac - bc = 0 ( do abc =1)
=> đpcm
Mk chưa hiểu đề câu b lắm . Viêt lại nha!