Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Với \(x\in\left[0;1\right]\) => x - 2 < 0 => |x - 2| = - (x -2)
Khi đó, \(f\left(x\right)=2\left(m-1\right)x+\frac{m\left(x-2\right)}{-\left(x-2\right)}=2\left(m-1\right)x-m\)
Để f(x) < 0 với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(2\left(m-1\right)x-m<0\) (*) với mọi \(x\in\left[0;1\right]\)
+) Xét m - 1 > 0 <=> m > 1
(*) <=> \(x<\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Để (*) đúng với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(\frac{m}{2\left(m-1\right)}\ge1\) <=> 2(m -1) \(\le\)m <=> m \(\le\) 2 <=> m \(\le\) 2
Kết hợp điều kiện m > 1 =>1 < m \(\le\) 2
+) Xét m = 1 thì (*) <=> -1 < 0 luôn đúng => m =1 thỏa mãn
+) Xét m - 1 < 0 <=> m < 1
(*) <=> \(x>\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Để (*) đúng với mọi \(x\in\left[0;1\right]\) <=> \(\frac{m}{2\left(m-1\right)}\le0\) <=> m \(\ge\) 0 (do m< 1 ). Kết hợp m < 1 => 0 \(\le\) m < 1
Kết hợp các trường hợp : Với 0 \(\le\)m \(\le\) 2 thì .....
b) Hoành độ giao điểm của đò thị hàm số với Ox là nghiệm của Phương trình : \(2\left(m-1\right)x+\frac{m\left(x-2\right)}{\left|x-2\right|}=0\) (1)
Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ xo thuộc (1;2) => xo < 2 => |xo - 2| = - (xo - 2)
xo là nghiệm của (1) <=> \(2\left(m-1\right)x_o+\frac{m\left(x_o-2\right)}{\left|x_o-2\right|}=0\) <=> \(2\left(m-1\right)x_o-m=0\)
+) Xét m \(\ne\) 1 thì (2)<=> \(x_o=\frac{m}{2\left(m-1\right)}\). Vì 1 < xo < 2 nên \(1<\frac{m}{2\left(m-1\right)}<2\) <=> \(\begin{cases}\frac{m}{2\left(m-1\right)}-1>0\\\frac{m}{2\left(m-1\right)}-2<0\end{cases}\) <=> \(\begin{cases}\frac{-m+2}{2\left(m-1\right)}>0\left(a\right)\\\frac{-3m+4}{2\left(m-1\right)}<0\left(b\right)\end{cases}\)
Giải (a) <=> 1 < m < 2
Giải (b) <=> m < 1 hoặc m > 4/3
Kết hợp nghiệm của (a) và (b) => 4/3 < m < 2
+) Xét m = 1 thì (2) <=> -1 = 0 Vô lí
Vậy Với 4/3 < m < 2 thì đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm thuộc (1;2)
5.
(x^2 -1)(x^2 +9) <0
(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)<0
x \(\in\)(-3;-1)U(1;3)
\(f\left(x\right)=3x+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}=\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{3}{4}\left(2x+1\right)+\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}-\frac{3}{2}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\left[\frac{3}{4}\left(2x+1\right)\right]^2.\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\sqrt[3]{9}-\frac{3}{2}\)
Dấu \(=\)khi \(\frac{3}{4}\left(2x+1\right)=\frac{2}{\left(2x+1\right)^2}\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^3=\frac{8}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}-\frac{1}{2}\).
a/ \(f\left(x\right)=2x^2-2\left(a+b\right)x+a^2+b^2\)
\(=\frac{1}{2}\left[4x^2-4\left(a+b\right)x+\left(a+b\right)^2\right]+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2-ab\)
\(=\frac{1}{2}\left(2x-a-b\right)^2+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{a+b}{2}\)
b/ \(f\left(x\right)=3x^2-2\left(a+b+c\right)x+a^2+b^2+c^2\)
\(=\frac{1}{3}\left[9x^2-6\left(a+b+c\right)x+\left(a+b+c\right)^2\right]+\frac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{2}{3}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(3a-a-b-c\right)^2+\frac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=\frac{2}{3}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\) khi \(x=\frac{a+b+c}{3}\)
Lời giải:
ĐK nên là $x\in (-a;b)$ vì nếu $x=-a$ thì $f(x)$ không xác định.
Với $x\in (-a;b)$ thì $x+a>0; b-x>0$
Áp dụng BĐT AM-GM: $(x+a)(b-x)\leq \left(\frac{x+a+b-x}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^2}{4}$
$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{(x+a)(b-x)}\geq \frac{4}{(a+b)^2}$
Vậy $f(x)_{\min}=\frac{4}{(a+b)^2}$ khi $x+a=b-x$ hay $x=\frac{b-a}{2}$
Giúp e giải câu này nữa ạ
Chứng minh với a, b ≠ 0 thì \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\)