Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì phương trình có 2 nghiệm x1;x2
=> Theo vi-ét ta có
x1 + x2 = 2(m+1) và x1x2 = 2m+3
theo bài ra ta có
(x1 - x2)2 = 4
<=> x12 - 2x1x2 + x22 = 4
<=> x12 + 2x1x2 + x22 - 4x1x2 = 4
<=> (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 4
<=> 4(m+1)2 - 4(2m+3) = 4
<=> (m+1)2 - (2m+3) = 1
<=> m2 + 2m +1 -2m -3 -1 = 0
<=> m2 - 3 = 0
<=> m2 = 3
<=> m\(=\pm\sqrt{3}\)
Vậy với m\(=\pm\sqrt{3}\) thì phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn (x1 - x2)2 = 4
\(\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0\) (1)
a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-3\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)-\left(m^2-2m-3\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4>0\)(luôn đúng)
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Để t nghĩ tí
Để PT có 2 nghiệm thì:
∆' = (m - 1)2 - (m - 5) > 0
<=> m2 - 3m + 6 > 0
Đúng với mọi m.
Theo vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1.x_2=m-5\end{cases}}\)
Theo đề ta có:
(2x1 - 1)(2x2 - 1) = 3
<=> 4x1x2 - 2(x1 + x2) = 2
<=> 4(m - 5) - 2(2m - 2) = 2
<=> 0m = 18
Vậy không tồn tại n thỏa mãn
\(A=\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\left[\frac{x_1^2+x^2_2}{x_1x_2}\right]^2-2=\left[\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\right]^2-2\)
\(=\left[\frac{\left(2m-2\right)^2}{2m-5}-2\right]^2-2\)\(=\left(\frac{4m^2-8m+4}{2m-5}-2\right)^2-2=\left(2m-1+\frac{9}{2m-5}\right)^2-2\)
A nguyên khi \(\left(2m-1+\frac{9}{2m-5}\right)^2\in Z\)
\(\Leftrightarrow B=2m-1+\frac{9}{2m-5}=\frac{8m^2-12m+14}{2m-5}\)\(=\sqrt{k}\) với k là một số nguyên dương.
\(\Rightarrow8m^2-12m+14=\sqrt{k}\left(2m-5\right)\)\(\Leftrightarrow8m^2-2\left(6+\sqrt{k}\right)m+14+5\sqrt{k}=0\text{ (1)}\)
(1) có nghiệm m khi \(\Delta'=\left(\sqrt{k}+6\right)^2-8\left(14+5\sqrt{k}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow k-28\sqrt{k}-76\ge0\Leftrightarrow\sqrt{k}\le14-4\sqrt{17}<0\text{ (loại) hoặc }\sqrt{k}\ge14+4\sqrt{17}\)
\(\Leftrightarrow k\ge\left(14+4\sqrt{17}\right)^2\approx929,78\Rightarrow k\ge930\)
Vậy \(m=\frac{6+\sqrt{k}+\sqrt{k-28\sqrt{k}-76}}{8}\text{ hoặc }m=\frac{6+\sqrt{k}-\sqrt{k-28\sqrt{k}-76}}{8}\) với k là một số nguyên lớn hợn hoặc bằng 930.
Áp dụng định lí viet ta có:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2+x_3=5\\x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2m+2\end{cases}}\)
Ta có: \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=41\)
<=> \(\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1\right)=41\)
<=> \(25-2\left(2m+2\right)=41\)
<=> \(m=-5.\)
\(x^2-2\cdot x\cdot\left(m-1\right)+2m-3=0\)
Ta có \(\Delta=4\cdot\left(m-1\right)^2-4\cdot\left(2m-3\right)\)
\(\Leftrightarrow\Delta=4m^2-16m+16=4\cdot\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)
+) Khi \(\Delta=0\Leftrightarrow m=2\Leftrightarrow x_1=x_2=\frac{2\cdot\left(m-1\right)}{2}=m-1=1\)
Khi đó \(x_1^2-2x_2=-1\) ( loại )
+) Khi \(\Delta>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\frac{2\cdot\left(m-1\right)+\sqrt{4\left(m-2\right)^2}}{2}=m-1+\left|m-2\right|\\x_2=\frac{2\cdot\left(m-1\right)-\sqrt{4\left(m-2\right)^2}}{2}=m-1-\left|m-2\right|\end{matrix}\right.\)
* Xét \(m\ge2\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2m-3\\x_2=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(2m-3\right)^2-2=7\Leftrightarrow\left(2m-3\right)^2=9\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\left(chon\right)\\m=0\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)
* Xét \(m< 2\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow1-2\cdot\left(2m-3\right)=7\Leftrightarrow m=0\left(chon\right)\)
Vậy \(m\in\left\{0;3\right\}\) thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn.
\(x^2-2\left(m-1\right)x+2m-3=0\)
( Δ'=b'^2-ac = \(\left(m-2\right)^2\)\(\ge0\) ∀ m ϵ R)
\(\Leftrightarrow x^2-2mx+2x+2m-3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2mx+3x-x+2m-3=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-2mx+2m+3x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)-2m\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2m+3\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-2m+3=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_{ }=1\\x_{ }=2m-3\end{matrix}\right.\)(*)
Thay (*) vào điều kiện \(x_1^2-2x_2=7\)
Ta được 2 trường hợp :
Với \(\left[{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Thay vào (*) được m=0 (1)
TH2: \(\left[{}\begin{matrix}x_1=2m-3\\x_2=1\end{matrix}\right.\)
Ta thay vào (*) và tính được :
\(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=3\end{matrix}\right.\)thỏa mãn điều kiện.