Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : Đường tròn tâm O cắt O, tại A và B .
=> OO, là đường trung trực của AB .
=> \(\left\{{}\begin{matrix}HA=HB=\frac{1}{2}AB\\AB\perp OO^,\end{matrix}\right.\)
=> \(\widehat{AO^,H}=\frac{1}{2}\widehat{AO^,B}=45^o\)
Mà tam giác AHO, vuông .
=> Tam giác AHO, vuông cân .
- Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác AHO, có :
\(AO^,=\sqrt{AH^2+OH^{,2}}=\sqrt{2AH^2}=\sqrt{2\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{AB^2}{2}}\)
- Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác AHO, có :
\(O^,H=\sqrt{AO^{,2}-AH^2}=\sqrt{\frac{AB^2}{2}-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{AB^2}{4}}=\frac{AB}{2}\)
- Áp dụng định lý pi ta go vào tam giác AHO có :
\(OH=\sqrt{AO^2-AH^2}\)
Mà tam giác OAB là tam giác đều ( \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OB=R\\\widehat{AOB}=60^o\end{matrix}\right.\) )
=> \(AO=AB\)
=> \(OH=\sqrt{AB^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3AB^2}{4}}=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\)
Ta có : \(OO^,=OH+O^,H=\frac{AB}{2}+\frac{AB\sqrt{3}}{2}=2+2\sqrt{3}\)
=> AB = 4 ( cm )
=> \(AH=BH=\frac{1}{2}AB=2\left(cm\right)\)
- Áp dụng tỉ số lượng giác vào :
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta AHO^,\perp H:SinAO^,H=Sin45=\frac{AH}{AO^,}=\frac{2}{AO^,}\\\Delta AHO\perp H:SinAOH=Sin30=\frac{AH}{AO}=\frac{2}{AO}\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}AO^,=2\sqrt{2}=r\\AO=4=R\end{matrix}\right.\) ( cm )
a)
Gọi giao của AM và OI là H, giao của O'I và AN là K
Ta có: IO là phân giác \(\widehat{MIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)
IO' là phân giác \(\widehat{NIA}\) ( tính chất tiếp tuyến)
Do đó suy ra \(\widehat{OIO'}\) =90o (2 tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau)
Ta có: \(OA=OM=R\)
\(\Rightarrow\) O thuộc đường trung trực của AM (1)
Ta có: \(IA=IM\) ( tính chất tiếp tuyến)
\(\Rightarrow\) I thuộc đường trung trực của AM (2)
(1)(2)\(\Rightarrow\) OI là trung trực của AM
\(\Rightarrow\)\(\widehat{IHA}\) \(=90^o\)
Chứng minh tương tự: O'I là trung trực của AN
\(\Rightarrow\) \(\widehat{IKA}\) \(=90^o\)
Do đó AHIK là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MAN}\)\(=90^o\)
b)
Giả sử R>R'
Từ O'kẻ đường thẳng song song với MN cắt OM tại D
\(\Rightarrow\) \(OD\)//\(MN\)
\(\Rightarrow\)\(\widehat{O'DM} \)\(=90^o\)
Mà \(\widehat{OMN}\)=90o, \(\widehat{O'NM}\) =90o
\(\Rightarrow MNO'D\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow MN=O'D,MD=NO'=R',OD=OM-MD=R-R'\)
Vì \(\widehat{O'DM}\) =90
\(\Rightarrow\) \(\Delta ODO'\) là tam giác vuông
\(\Rightarrow DO^2=OO'^2-OD^2\)( định lý pythagor)
\(\Rightarrow DO^2=\left(R+R'\right)^2-\left(R-R'\right)^2=4RR'\)
\(\Rightarrow DO=2\sqrt{RR'}\)
\(\Rightarrow MN=2\sqrt{R.R'}\left(đpcm\right)\)
Đáp án A.120o
Tham khảo cách giải thích :