Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(pt\Leftrightarrow3x\left(2+\sqrt{\left(3x\right)^2+3}\right)=-\left(2x+1\right)\)\(\left(2+\sqrt{\left(2x+1\right)^2+3}\right)\)
Nếu 3x = - (2x + 1)\(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}\)thì các biểu thức trong căn của hai vế bằng nhau.Vậy \(x=-\frac{1}{5}\)là 1 nghiệm của phương trình.
Hơn nữa, nghiệm của pt nằm trong khoảng \(\left(\frac{-1}{2};0\right)\).Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Với \(-\frac{1}{2}< x< -\frac{1}{5}:3x< -2x-1< 0\)
\(\Rightarrow\left(3x\right)^2>\left(2x+1\right)^2\)\(\Rightarrow2+\sqrt{\left(3x\right)^2+3}>2+\sqrt{\left(2x+1\right)^2+3}\)
Suy ra \(3x\left(2+\sqrt{\left(3x\right)^2+3}\right)+\left(2x+1\right)\)\(\left(2+\sqrt{\left(2x+1\right)^2+3}\right)>0\)pt không có nghiệm nằm trong khoảng này.CMTT: ta cũng đi đến kết luận pt không có nghiệm khi \(-\frac{1}{2}< x< -\frac{1}{5}\)
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(\frac{-1}{5}\)
PT tương đương
\(\left(2x+1\right)\left(2+\sqrt{\left(2x+1\right)^2+3}\right)=-3x\left(2+\sqrt{\left(-3x\right)^2+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow f\left(2x+1\right)=f\left(-3x\right)\)
Trong đó \(f\left(t\right)=t\left(2+\sqrt{t^2+3}\right)\)là hàm đồng biến và liên tục trong R. Phương trình trở thành
\(f\left(2x+1\right)=f\left(-3x\right)\Leftrightarrow2x+1=-3x\Leftrightarrow x=\frac{-1}{5}\)là nghiệm duy nhất
1.
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\sqrt{2x^2+4x+5}-\left(2x+1\right)\left(x+3\right)+x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(\sqrt{2x^2+4x+5}-\left(x+3\right)\right)+x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2x+1\right)\left(x^2-2x-4\right)}{\sqrt{2x^2+4x+5}+x+3}+x^2-2x-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-4=0\\\dfrac{2x+1}{\sqrt{2x^2+4x+5}+x+3}+1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2x+1+\sqrt{2x^2+4x+5}+x+3=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+4x+5}=-3x-4\) \(\left(x\le-\dfrac{4}{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+4x+5=9x^2+24x+16\)
\(\Leftrightarrow7x^2+20x+11=0\)
2.
ĐKXĐ: ...
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{2x+7}+7\sqrt{2x+7}=x^2+2x+7+7x\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\sqrt{2x+7}+2x+7\right)+7\left(x-\sqrt{2x+7}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2x+7}\right)^2+7\left(x-\sqrt{2x+7}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{2x+7}\right)\left(x+7-\sqrt{2x+7}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2x+7}\\x+7=\sqrt{2x+7}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
Đặt: \(\sqrt{2x+1}=a,\sqrt{3-2x}=b\)
Từ đó: \(\sqrt{4x-4x^2+3}=ab\)và \(4=a^2+b^2\)
Từ đó biến đổi và giải phương trình. Đây là một cách. (T chưa giải ra :V)
Hoặc là không cần đặt ẩn phụ, biến đổi luôn:
VT=\(\frac{\left(2x-1\right)^2.\left(2x+1\right)\left(3-2x\right)}{\left(2x+1\right)+\left(3-2x\right)}\)
VP=\(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}+2\sqrt{2x+1}.\sqrt{3-2x}+\left(\sqrt{2x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3-2x}\right)^2\)
=\(\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}\right)\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{3x+2}+1\right)\)
Đến đây có vẻ đơn giản r :>
Đk: \(x\ge2\)
pt <=> \(\frac{4\left(x+2\right)-\left(4x+1\right)}{2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}}\left(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}\right)=7\)
<=> \(\frac{7}{2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}}\left(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}\right)=7\)
<=> \(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\)(1)
Đặt : \(t=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\ge0\)
Ta có: \(t^2=8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}\)<=> \(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}=\frac{t^2+3}{4}\)
Phương trình (1) trở thành: \(\frac{t^2+3}{4}=t\Leftrightarrow t^2-4t+3=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\\t=1\end{cases}\left(tm\right)}\)
+) Với t = 1. Ta có:
\(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=1\)
<=> \(8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}=1\)
<=> \(\sqrt{4x^2+9x+2}=-2-2x\)
<=> \(\hept{\begin{cases}-2-2x\ge0\\4x^2+9x+2=4x^2+8x+4\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\le-1\\x=2\end{cases}}\)loại
+) Với t = 3. Ta có:
\(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=3\)
<=> \(8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}=9\)
<=> \(\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x\)
<=> \(\hept{\begin{cases}-2x\ge0\\4x^2+9x+2=4x^2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\le0\\9x+2=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=-\frac{2}{9}\left(tmdk\right)\)
Vây:...
ĐK \(x\ge\frac{-1}{4}\)
Với điều kiện đó ta có \(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}>0\)
Biến đổi phương trình đã cho trở thành
\(7\left(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}\right)7\left(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\left(1\right)\)
Đặt \(t=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\left(t\ge\sqrt{7}\right)\)
\(t^2=8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}\Rightarrow2x+\sqrt{4x^2+9x+2}=\frac{t^2-9}{4}\)
Thay vào (1) ta được \(t^2-4t+3=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\left(ktm\right)\\t=3\left(tm\right)\end{cases}}\)
Với t=3 ta có:\(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=3\)giải ra ta được \(x=\frac{-2}{9}\left(tm\right)\)
Vậy pt có 1 nghiệm duy nhất \(x=-\frac{2}{9}\)