Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
ĐK:...........
PT\((1)\Rightarrow x+y+2\sqrt{(x+y)(x-y)}+x-y=16\) (bình phương 2 vế)
\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-y^2}=8\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2-y^2}=8-x\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 8-x\geq 0\\ x^2-y^2=(8-x)^2=x^2-16x+64\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 8\\ y^2=16x-64\end{matrix}\right.\)
Thay vào PT(2) ta có:
\(x^2+16x-64=128\)
\(\Leftrightarrow x^2+16x-192=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=8\\ x=-24\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x=8\Rightarrow y^2=16x-64=64\Rightarrow y=\pm 8\) (thỏa mãn)
Nếu $x=-24\Rightarrow y^2=16x-64< 0$ (vô lý-loại)
Vậy $(x,y)=(8,\pm 8)$
Bài 2:
Ta thấy:
\(x^2-4x+11=(x^2-4x+4)+7=(x-2)^2+7\geq 0, \forall x\)
\(x^4-8x^2+21=(x^4-8x^2+16)+5=(x^2-4)^2+5\geq 5, \forall x\)
Do đó:
\((x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)\geq 7.5=35\)
Dấu "=" xảy ra khi \((x-2)^2=(x^2-4)^2=0\Leftrightarrow x=2\)
Vậy.......
1/PT (1) cho ta nhân tử x - y - 1:)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(17-3x\right)\sqrt{5-x}+\left(3y-14\right)\sqrt{4-y}=0\left(1\right)\\2\sqrt{2x+y+5}+3\sqrt{3x+2y+11}=x^2+6x+13\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
ĐK: \(x\le5;y\le4\); \(2x+y+5\ge0;3x+2y+11\ge0\)
PT (1) \(\Leftrightarrow\left(17-3x\right)\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-y}\right)-3\left(x-y-1\right)\sqrt{4-y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x-17\right)\left(\frac{x-y-1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-y}}\right)-3\left(x-y-1\right)\sqrt{4-y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(\frac{3x-17}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-y}}-3\sqrt{4-y}\right)=0\)
Dễ thấy cái ngoặc to < 0
Do đó x= y + 1
Thay xuống PT (2):\(y^2+8y+20=2\sqrt{3y+7}+3\sqrt{5y+14}\)\(\left(y+1\right)\left(y+2\right)=y^2+3y+2\)
ĐK: \(y\ge-\frac{7}{3}\) (để các căn thức được thỏa mãn)
PT (2) \(\Leftrightarrow y^2+3y+2+2\left(y+3-\sqrt{3y+7}\right)+3\left(y+4-\sqrt{5y+14}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+3y+2\right)\left(1+\frac{2}{y+3+\sqrt{3y+7}}+\frac{3}{y+4+\sqrt{5y+14}}\right)=0\)
Cái ngoặc to > 0 =>...
P/s: Is that true? Ko đúng thì chịu thua-_- Mất nửa tiếng đồng hồ để gõ bài này đấy:(
2/ĐK: \(x\ge-y;y\ge0\)
PT (1) \(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)+\sqrt{x+y}=2y^2+\sqrt{2y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+y\left(x-y\right)+\sqrt{x+y}-\sqrt{2y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+2y+\frac{1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}\right)=0\)
Cái ngoặc to \(\ge y+\frac{1}{\sqrt{x+y}+\sqrt{2y}}>0\).
Do đó x = y \(\ge0\)
Thay xuống pt dưới: \(x^3-5x^2+14x-4=6\sqrt[3]{x^2-x+1}\)
Lập phương hai vế lên ra pt bậc 6, tuy nhiên cứ yên tâm, nghiệm rất đẹp: x = 1:)
Em đưa kết quả luôn: \(\left(x-1\right)\left(x^2-4x+7\right)\left(x^6-10x^5+56x^4-160x^3+272x^2-64x+40\right)=0\)
P/s: khúc cuối em ko còn cách nào khác nên đành lập phương:((
Phần a)
\(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30\\ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)=35\end{matrix}\right.\)
Khi đó hpt trở thành:
Đặt \((\sqrt{xy}; \sqrt{x}+\sqrt{y})=(a,b)\)
HPT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} ab=30\\ b(b^2-3a)=35\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab=30\\ b^3=125\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=6\\ b=5\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\sqrt{xy}=6; \sqrt{x}+\sqrt{y}=5\). Theo định lý Viete đảo thì \(\sqrt{x}; \sqrt{y}\) là nghiệm của pt:
\(T^2-5T+6=0\Rightarrow (\sqrt{x}; \sqrt{y})=(2,3)\) và hoán vị
\(\Rightarrow (x,y)=(4,9)\) và hoán vị
b)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\ (x+y)^2-2xy=6\end{matrix}\right.\)
Đặt \((x+y,xy)=(a,b).\) Khi đó hpt trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} a+b=2+3\sqrt{2}\\ a^2-2b=6\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2-2(2+3\sqrt{2}-a)=6\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a=10+6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow (a+1)^2=11+6\sqrt{2}=(3+\sqrt{2})^2\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=2+\sqrt{2}\\ a=-4-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} b=2\sqrt{2}\\ b=6+4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Với \((a,b)=(2+\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\) theo đl Viete đảo suy ra \((x,y)=(2,\sqrt{2})\) và hoán vị.
Với \((a,b)=(-4-\sqrt{2}, 6+4\sqrt{2})\Rightarrow \) theo đl Viete đảo thì (x,y) là nghiệm của pt: \(T^2+(4+\sqrt{2})T+6+4\sqrt{2}=0\), pt vô nghiệm nên không tồn tại $x,y$
Vậy \((x,y)=(2,\sqrt{2})\) và hoán vị.
Hệ khá là dễ
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2+y=xy+4\left(1\right)\\4x^2-24x+35=5\left(\sqrt{3y-11}+\sqrt{y}\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)ĐKXĐ:\(y\ge\frac{11}{3}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+2x+1+y-xy-4=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)-y\left(x-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=x+3\end{matrix}\right.\)(đến đây giải từng TH đều thay vào pt (2) bạn nhé)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2+y=xy+4\left(1\right)\\4x^2-24x+35=5\left(\sqrt{3y-11}+\sqrt{y}\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(Đkxđ:\left\{{}\begin{matrix}y\ge\frac{11}{3}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+y=xy+4\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-4=y\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{\left(x+1\right)^2-4}{x-1}=\frac{x^2+2x-3}{x-1}\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=x+3\)
\(\Rightarrow y=x+3\Rightarrow x+3\ge\frac{11}{3}\Rightarrow y\ge\frac{2}{3}\)
Thay: \(y=x+3\) vào \(\left(2\right)\) ta được:
\(4x^2-24x+35=5\left(\sqrt{3\left(x+3\right)-11}+\sqrt{x+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2-24x+35=5\left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{x+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-7\right)\left(2x-5\right)=\frac{5\left(3x-2-x-3\right)}{\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}}\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-7\right)\left(2x-5\right)=\frac{5\left(2x-5\right)}{\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}}\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)\left(2x-7-\frac{5}{\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{5}{2}\\2x-7=\frac{5}{\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}}\end{matrix}\right.\)
\((*)\) \(x=\frac{5}{2}\Rightarrow y=\frac{11}{2}\left(tmđk\right)\)
\((*)\) \(2x-7=\frac{5}{\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}}\)
Vì: \(x\ge\frac{2}{3}\Rightarrow2x-7-\frac{5}{\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}}< 0\)
\(\Rightarrow Vô-nghiệm\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left(\frac{5}{2};\frac{11}{2}\right)\)
ĐKXĐ: ...
Ta có:
\(\left[\left(x-1\right)\sqrt{14-y}+\sqrt{\left(11+2x-x^2\right)\left(y-2\right)}\right]^2\)
\(\le\left[\left(x-1\right)^2+11+2x-x^2\right]\left(14-y+y-2\right)=144\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\sqrt{14-y}+\sqrt{\left(y-2\right)\left(11+2x-x^2\right)}\le12\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\\left(y-2\right)\left(x-1\right)^2=\left(11+2x-x^2\right)\left(14-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow y\left(x^2-2x+1\right)-2x^2+4x-2=154+28x-14x^2-y\left(11+2x-x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow12y=-12x^2+24x+156\)
\(\Rightarrow y=-x^2+2x+13\)
Thế vào pt dưới:
\(x^3-3x^2-5x+6=2\sqrt{-x^2+2x+9}\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x^2-4x+6-x-2\sqrt{-x^2+2x+9}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x\right)\left(x+1\right)+\frac{5\left(x^2-4x\right)}{6-x+2\sqrt{-x^2+2x+9}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x\right)\left(x+1+\frac{5}{6-x+2\sqrt{-x^2+2x+9}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x=0\) (ngoặc to luôn dương với \(1\le x\le1+\sqrt{10}\))
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x=4\Rightarrow y=...\end{matrix}\right.\)
\(e,\left\{{}\begin{matrix}\left(\frac{x}{y}\right)^3+\left(\frac{x}{y}\right)^2=12\\\left(xy\right)^2+xy=6\end{matrix}\right.\left(x;y\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=2\\xy\in\left\{2;-3\right\}\end{matrix}\right.\)
Vì \(\frac{x}{y}=2>0\Rightarrow xy>0\Rightarrow xy=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=2\\xy=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2y\\2y^2=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\left(h\right)\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-1\end{matrix}\right.\)
\(a,\left\{{}\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}=3\\x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\left(x;y\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\frac{1}{y}\right)^2-\frac{x}{y}=3\\\left(x+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\frac{1}{y}=a\\\frac{x}{y}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-b=3\\a+b=3\end{matrix}\right.\)
Làm nốt nha
Lời giải:
a)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x-y=4(1)\\ 3x-y=5(2)\end{matrix}\right.\)
Lấy $(1)$ trừ $(2)$:
$\Rightarrow 2x=-1\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$
Thay $x=\frac{-1}{2}$ vào $(1):y=5x-4=5.\frac{-1}{2}-4=\frac{-13}{2}$
Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(\frac{-1}{2}, \frac{-13}{2})$
b)
\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}x-\sqrt{2}y=1\\ \sqrt{2}x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{6}x-2y=\sqrt{2}(1)\\ \sqrt{6}x+3y=3(2)\end{matrix}\right.\)
Lấy $(2)-(1)$ thu được:
$5y=3-\sqrt{2}\Rightarrow y=\frac{3-\sqrt{2}}{5}$
Thay giá trị $y$ trên vào $(1): x=\frac{2y+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{5}$
Vậy.........
Đề thi chuyên SP hả em, bài này sử dụng Liên hợp với đánh giá em nhé:
Đầu tiên trừ 2 về mình có là
\(x\sqrt{y+4}+x\sqrt{y+11}-y\sqrt{x+4}-y\sqrt{x+11}=0\)
Từ hệ mình dễ dàng suy ra đc x,y>0
Anh liên hợp cho 1 cái nha
\(x\sqrt{y+4}-y\sqrt{x+4}=\sqrt{x^2y+4x^2}-\sqrt{y^2x+4y^2}=\dfrac{x^2y-y^2x+4x^2-4y^2}{\sqrt{.........}+\sqrt{.......}}=\left(x-y\right).\dfrac{xy+4x+4y}{\sqrt{.........}+\sqrt{............}}\)
Cái kia em cx liên hợp tương tự, đặt x-y của cả 2 cái khi liên hợp xong phương trình sẽ là
\(\left(x-y\right)\left(\dfrac{xy+4x+4y}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}+\dfrac{xy+11x+11y}{\sqrt{........}+\sqrt{.....}}\right)=0\) Cái trong ngoặc to đùng hiển nhiên >0 với x,y>0. DO đó x-y=0 hay x=y
EM thế vào phương trình ban đầu thì có \(x\sqrt{x+4}+x\sqrt{x+11}=35\)
Đến đây thì nhẩm đc x=5 thoả mãn em giải bằng đánh giá:
Với x=5 suy ra......=35
Với x>5 suy ra......>35
Với x<5 suy ra.....<35
Kết luận đc x=5, do đó y=5
Note: hướng làm em nhé, bổ sung thêm điều kiện xác định linh tinh zô
Xem qua xem hiểu đc đến đâu em nhé