Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\begin{cases}xy\left(x+1\right)=x^3+y^2+x-y\left(1\right)\\3y\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4y+2\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\left(2\right)\end{cases}\)
Điều kiện xác định : mọi \(x\in Z\)
Ta có : \(xy\left(x+1\right)=x^3+y^2+x-y\Leftrightarrow x^3-x^2y+y^2-xy+x-y=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y-1\right)=0\Leftrightarrow\begin{cases}y=x\\y=x^2+1\end{cases}\)
Với \(y=x^2+1\) thay vào phương trình (2) ta được :
\(3\left(x^2+1\right)\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4x^2+6\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\)
Giải ra ta có phương trình vô nghiệm
Với y=x, thay vào phương trình thứ 2, ta được :
\(3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)+\left(4x+2\right)\left(\sqrt{1+x+x^2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)=-\left(2x+1\right)\left(\sqrt{3+\left(2x+1\right)^2}+2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x\left(2+\sqrt{9x^2+3}\right)=\left(-2x-1\right)\left(\sqrt{3+\left(-2x-1\right)^2}+2\right)\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t\left(\sqrt{t^2+2}+2\right)\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=\sqrt{t^2+2}+2+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+2}}>0\) suy ra hàm số đồng biến
Từ đó suy ra \(3x=-2x\Leftrightarrow x=-\frac{1}{5}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(-\frac{1}{5};-\frac{1}{5}\right)\)
\(\begin{cases}x^2\left(x-3\right)-y\sqrt{y-3}=-2\left(1\right)\\3\sqrt{x-2}=\sqrt{y\left(y+8\right)}\left(2\right)\end{cases}\) Điều kiện \(x\ge2;y\ge0\) (*)
Khi đó (1) \(\Leftrightarrow x^3-3x^2+2=y\sqrt{y+3}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3-3\left(x-1\right)=\left(\sqrt{y+3}\right)^3-3\sqrt{y+3}\left(3\right)\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=t^3-3t\) trên \(\left(1;+\infty\right)\)
Ta có \(f\left(t\right)=3t^2-3=3\left(t^2-1\right)\ge0\) với mọi \(t\ge1\) suy ra hàm số đồng biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)
Điều kiện \(x\le2;y\ge-1;y^3\left(2x-y\right)\ge0;5y^2-4x^2\ge0\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm ta có :
\(\sqrt{y^3\left(2x-y\right)}=\sqrt{y^2\left(2xy-y^2\right)}\le\frac{y^2+2xy-y^2}{2}=xy\)
\(\sqrt{x^2\left(5y^2-4x^2\right)}\le\frac{x^2+5y^2-4x^2}{2}=\frac{5y^2-3x^2}{2}\)
Suy ra :
\(3\sqrt{y^3\left(2x-y\right)}+\sqrt{x^2\left(5y^2-4x^2\right)}\le3xy+\frac{5y^2-3x^2}{2}\)
Vì vậy ta phải có : \(4y^2\le3xy+\frac{5y^2-3x^2}{2}\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\le0\Leftrightarrow x=y\)
Vậy phương trình đầu của hệ tương đương với : x=y
Thay y=x vào phương trình thứ 2 của hệ ta được :
\(\sqrt{2-x}+\sqrt{x+1}+2=x+x^2\) (*)
Do \(\sqrt{2-x}+\sqrt{x+1}>0\Rightarrow x>1\)(do \(x\ge-1\)
Khi đó phương trình (*) tương đương với :
\(x^2-x-1+\left(x-1-\sqrt{2-x}\right)+\left(x-\sqrt{x+1}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-1\right)\left(1+\frac{1}{x-1+\sqrt{2-x}}+\frac{1}{x+\sqrt{x+1}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\) (do \(1+\frac{1}{x-1+\sqrt{2-x}}+\frac{1}{x+\sqrt{x+1}}>0\))
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow x=y=x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\)
ôi trờiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Từ phương trình ban đầu ta có :
\(\begin{cases}x^3-2x^2+2x+1=2y\\y^3-2y^2+2y+1=2x\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)=2y\\f\left(y\right)=2x\end{cases}\) với \(f\left(t\right)=t^3-2t^2+2t+1\)
Ta có \(f'\left(t\right)=3t^2-4t+2>0\), với mọi \(t\in R\) nên f đồng biến trên R
* Nếu \(x>y\Rightarrow2x>2y\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y>x\) (Mâu thuẫn)
* Nếu \(x< y\Rightarrow2x< 2y\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y< x\) (Mâu thuẫn)
* Vậy \(x=y\) , ta có hệ phương trình ban đầu tương đương :
\(\begin{cases}x=y\\x^3-2x^2+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\x\in\left\{1;\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right\}\end{cases}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :
\(\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\)