Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tự vẽ hình nhé!
a, MN;MP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt)
\(\Rightarrow\widehat{ONM}=\widehat{OPM}=90^0\Rightarrow\) Tứ giác MNOP nội tiếp ngược
\(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NPO}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn chung NO)
b, Gọi C là trung điểm dây AB ta có C cố định
(d) không qua O nên \(OC\perp AB\)
\(\widehat{OCM}=\widehat{OMN}=\widehat{OPM}=90^0\)
\(\Rightarrow\) C ; N ; P thuộc đường tròn đường kính OM
\(\Rightarrow\) C ; N ; P ; O ; M cùng thuộc một đường tròn
Mà O và C cố định
Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2 điểm cố định O và C khi M lưu động trên đường thẳng (d)
c, Tứ giác MNOP là hình vuông
\(\Leftrightarrow\) Hình thoi MNOP có \(\widehat{ONM}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\) Tứ giác MNOP có MN = ON = OP = PM và \(\widehat{ONM}=90^0\)
\(\Leftrightarrow\)Tam giác OMN vuông cân tại N \(\Leftrightarrow\) \(OM=ON\sqrt{2}=R\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\) M là giao điểm của đường tròn tâm O bán kính \(R\sqrt{2}\) và đường thẳng (d)
d, từ nghĩ đã...
\(\Leftrightarrow\) MN = ON = R ; \(\widehat{ONM}=90^0\)
cái dòng cuối cùng của ý d là dòng thứ 4 của ý c nhé, bị nhầm đó
d, Làm tiếp:
Giả sử đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O) tại I'
OM là tia phân giác \(\widehat{NOP}\)( vì MN;MP là 2 tiếp tuyến của (O))
\(\Rightarrow\widehat{NOM}=\widehat{POM}\Rightarrow\widebat{NI'}=\widebat{PI'}\)
\(sđ\widehat{NPI'}=\frac{1}{2}sđ\widebat{NI'}\) ; \(sđ\widehat{MPI'}=\frac{1}{2}sđ\widehat{PI'}\)
Do đó \(\widehat{NPI'}=\widehat{MPI'}\Rightarrow\) PI' là tia phân giác \(\widehat{MPN}\)
\(\Delta MPN\)có MI' là tia phân giác \(\widehat{NMP}\)( vì MN và MP là 2 tiếp tuyến ) và PI' là tia phân giác \(\widehat{MPN}\)nên I' là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP
Do đó \(I'\equiv I\)mà I' thuộc đường tròn (O;R)
Mặt khác : O , I cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d
Do đó I lưu động trên cung lớn AB của đưởng tròn tâm O bán kính R
O A M B C H K d
a) Ta có: MB và MC là 2 tiếp tuyến kẻ từ M tới đường tròn (O) => MB = MC và MO là phân giác ^BMC
Xét \(\Delta\)BCM cân tại M có đường phân giác MO => MO vuông góc BC tại H
=> ^OHK = 900 => \(\Delta\)OHK ~ \(\Delta\)OAM (g.g) => \(\frac{OH}{OA}=\frac{OK}{OM}\Rightarrow OA.OK=OH.OM\)
Xét \(\Delta\)MBO có ^MBO = 900 và BH vuông góc MO tại H
\(\Rightarrow OH.OM=OB^2=R^2\) (Hệ thức lượng trg tam giác vuông)
\(\Rightarrow OA.OK=R^2\) => OA.OK có giá trị ko đổi (đpcm).
\(\Leftrightarrow OK=\frac{R^2}{OA}\). Mà R2 và OA có độ dài ko đổi => OK có độ dài ko đổi.
Do K nằm trên OA cố định và OK ko đổi nên điểm K cố định.
=> BC luôn đi qua điểm K cố định (vì BC cắt OA tại K) (đpcm).
b) Ta thấy: ^OHK = 900 và OK không đổi (cmt)=> Điểm H di động trên 1 đường tròn cố đinh có đường kính OK.
c) Tứ giác MBOC có 2 đường chéo vuông góc với nhau nên \(S_{MBOC}=\frac{OM.BC}{2}\)
Ta có: \(OM\ge OA\)(Quan hệ đg xiên hình chiếu) \(\Rightarrow S_{MBOC}\ge\frac{OA.BC}{2}=R.BC\)(1)
Khi đó thì BC vuông góc OA => H trùng K => BC = 2.BK
Lại có: \(OK=\frac{R^2}{OA}=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}\). Áp dụng ĐL Pytago cho \(\Delta\)BKO:
\(\Rightarrow BK^2=OB^2-OK^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Leftrightarrow BK=\frac{\sqrt{3}.R}{2}\)
\(\Rightarrow BC=2.BK=\sqrt{3}.R\)(2)
Thế (2) vào (1) ta có: \(S_{MBOC}\ge\)\(\sqrt{3}.R.R=R^2\sqrt{3}\)
Vậy \(S_{MBOC}\)nhỏ nhất <=> Điểm M trùng với điểm A và \(Min_{S_{MBOC}}=R^2\sqrt{3}.\)
Bạn học trường THCS Ba Mỹ phải không?
Mình trường THCS Phú Ngãi?
Gọi I là giao điểm của MN và AC.
Ta có: \(\widehat{IHO}=\widehat{OEI}=90°\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác EIHO nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\)Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.(*)
Ta có ∆AIH \(\approx\)∆AOE
\(\Rightarrow\)AH.AO = AE.AI (1)
Ta có: ∆AMB \(\approx\)AOM
\(\Rightarrow\)AM2 = AH.AO (2)
Ta lại có: ∆ABM \(\approx\)∆AMC
\(\Rightarrow\)AM2 = AB.AC (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AI = AB.AC
Vì A,B,C,E cố định nên I cố định (**)
Từ (*), (**) suy ta tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.
PS: không chứng minh được nó nằm trên đường tròn nha b. Hình tự vẽ.
c) OM cắt CD tại F
Ta có OK.OM=OC2=R2OK.OM=OC2=R2
ΔOHM∼ΔOKF⇒OHOK=OMOFΔOHM∼ΔOKF⇒OHOK=OMOF
⇒OF=OK.OMOH=R2OH⇒OF=OK.OMOH=R2OH (không đổi)
mà OF nằm trên đường cố định nên F là điểm cố định khi M thay đổ
c)OM cắt CD tại F
Ta có \(OK.OM=OC^2=R^2\)
\(\Delta OHM~\Delta OKF\Rightarrow\frac{OH}{OK}=\frac{OM}{OF}\)
\(OF=\frac{OK.OM}{OH}=\frac{R^2}{OH}\)( không đổi)
mà OF nằm trên đường cố định nên F là điểm cố định khi M thay đổi