DT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 4 2019
Chỉ đúng với điều kiện A, B, C là 3 góc trong tam giác \(\Rightarrow A+B+C=\pi\)
Đặt \(\frac{A}{2}=x\) , \(\frac{B}{2}=y\); \(\frac{C}{2}=z\) \(\Rightarrow x+y+z=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\frac{\pi}{2}-z\\z=\frac{\pi}{2}-\left(x+y\right)\end{matrix}\right.\)
\(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}=cotx+coty+cotz=\frac{cosx}{sinx}+\frac{cosy}{siny}+\frac{cosz}{sinz}\)
\(=\frac{cosx.siny+cosy.sinx}{sinx.siny}+\frac{cosz}{sinz}=\frac{sin\left(x+y\right)}{sinx.siny}+\frac{cosz}{sinz}\)
\(=\frac{sin\left(\frac{\pi}{2}-z\right)}{sinx.siny}+\frac{cosz}{sinz}=\frac{cosz}{sinx.siny}+\frac{cosz}{sinz}=cosz\left(\frac{1}{sinx.siny}+\frac{1}{sinz}\right)\)
\(=\frac{cosz}{sinx.siny.sinz}\left(sinz+sinx.siny\right)=\frac{cosz}{sinx.siny.sinz}\left(sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(x+y\right)\right)+sinxsiny\right)\)
\(=\frac{cosz}{sinx.siny.sinz}\left(cos\left(x+y\right)+sinx.siny\right)\)
\(=\frac{cosz}{sinx.siny.sinz}\left(cosx.cosy-sinx.siny+sinx.siny\right)\)
\(=\frac{cosx.cosy.cosz}{sinx.siny.sinz}=cotx.coty.cotz=cot\frac{A}{2}.cot\frac{B}{2}.cot\frac{C}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 1 2019
a/ \(b^2-c^2=ab.cosC-ac.cosB\)
Ta có: \(b.cosC-c.cosB=ab.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-ac.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}=\dfrac{2b^2-2c^2}{2}=b^2-c^2\) (đpcm)
b/ \(ac.cosC-ab.cosB=ac.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}-ab.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(=\dfrac{c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)-b^2\left(a^2+c^2-b^2\right)}{2bc}=\dfrac{\left(ac\right)^2-\left(ab\right)^2+b^4-c^4}{2bc}\)
\(=\dfrac{-a^2\left(b^2-c^2\right)+\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}{2bc}=\left(b^2-c^2\right).\dfrac{\left(b^2+c^2-a^2\right)}{2bc}\)
\(=\left(b^2-c^2\right).cosA\) (đpcm)
c/ \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{cosA}{sinA}+\dfrac{cosB}{sinB}+\dfrac{cosC}{sinC}=\dfrac{2R.cosA}{a}+\dfrac{2R.cosB}{b}+\dfrac{2R.cosC}{c}\)
\(=2R\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2abc}\right)\)
\(=2R\left(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\right)=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}.R\) (đpcm)
HT
0
Xét trong 1 tam giác:
\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan\left(A+B\right).\left(1-\tan A.\tan B\right)+\tan C\)
\(=\tan\left(\pi-C\right)\left(1-\tan A.\tan B\right)+\tan C\)
\(=\tan A.\tan B.\tan C\)
☕ Quay lại bài toán, cần chứng minh \(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+\dfrac{1}{\tan C}\ge\sqrt{3}\)
Theo AM-GM:
\(VT^2\ge3\left(\dfrac{1}{\tan A.\tan B}+\dfrac{1}{\tan B.\tan C}+\dfrac{1}{\tan C.\tan A}\right)\)
\(=\dfrac{3\left(\tan A+\tan B+\tan C\right)}{\tan A.\tan B.\tan C}=3\). Suy ra đpcm