Question

[Trần Thị Thanh Trang]

Có tam giác ABC, đường trung tuyến AM. qua ddiemr D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắ AB và AC lần lượt tại E và F

a) CM: DE+DF=2AM

b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. CM: N là trung điểm của EF

c) CM: S²_FDC >= S_AMC.S_FNA

Giụp mình vs ah

---

Answer 1

[Phạm Đức Cường]

a:

• Vì \(E F \parallel A M\), theo định lý Ta-lét ta có:
  \(\frac{D E}{A M} = \frac{D F}{A M} = 1\)
  nên \(D E = A M\) và \(D F = A M\)
  suy ra: \(D E + D F = A M + A M = 2 A M .\)
  b:Vì \(E F \parallel A M\) và \(A M\) là trung tuyến, ta suy ra \(N\) là trung điểm của \(E F\) theo tính chất đường trung bình.

c: Ta có:

\(S_{F D C}^{2} = k^{4} S_{A M C}^{2}\) \(S_{A M C} \cdot S_{F N A} = S_{A M C} \cdot k S_{F D C}\)

Vậy ta cần chứng minh:

\(k^{4} S_{A M C}^{2} \geq k S_{A M C} \cdot S_{F D C}\)

Chia cả hai vế cho \(S_{A M C}\) (với \(S_{A M C} \neq 0\)):

\(k^{4} S_{A M C} \geq k S_{F D C}\)

Thế \(S_{F D C} = k^{2} S_{A M C}\) vào:

\(k^{4} S_{A M C} \geq k \cdot k^{2} S_{A M C}\) \(k^{4} S_{A M C} \geq k^{3} S_{A M C}\)

Chia cả hai vế cho \(S_{A M C}\) (giả sử \(S_{A M C} > 0\)):

\(k^{4} \geq k^{3}\)

Điều này đúng vì \(k \geq 1\) theo tỉ số đồng dạng.

4o