Question

[Van Xuân Trần]

Có bao nhiêu bộ ba (x, y, z) nguyên dương sao cho \(x^3+y^3+z^3=3xyz+2017\)

Answer 1

[Nguyễn Anh Kim Hân]

x³+y³+z³ = 3xyz + 2017 \(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=2017\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=2017\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=4034\) 4034 có 4 ước nguyên dương là 1; 2; 2017; 4034. Mà x; y; z là ba số nguyên dương \(\Rightarrow\)x +y+z \(\ge\)3 \(\Rightarrow\)x+y+z = 2017; 4034. *Nếu x+y+z = 4034. \(\Rightarrow\) (x-y)² + (x-z)² + (y-z)² = 1 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\\left|y-z\right|=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\\left|y-z\right|=1\end{matrix}\right.\) (loại) *Nếu x+y+z = 2017 \(\Rightarrow\)(x-y)² + (x-z)² + (y-z)² = 2 + TH1: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-z=0\\\left|y-z\right|=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\\left|y-z\right|=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) (loại) +TH2: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=1\\\left|x-z\right|=1\\y-z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x-z=-1\\y=z\end{matrix}\right.\)(không mất tính tổng quát) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2017\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2017-2y\\x=y-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2017-2y=y-1\) \(\Leftrightarrow3y=2016\Leftrightarrow y=672\) \(\Rightarrow x=673;z=672\) Vậy có 1 bộ ba (x;y;z) nguyên dương cần tìm là (672;672;673) và các hoán vị của chúng.