Câu hỏi của Nguyễn Tấn Phát

Question

CMR : Biểu thức sau đây không âm

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-y^2xz-z^2xy$

Girl · Accepted Answer

Áp dụng bđt AM-GM:

$x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xy^2z$

$y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^2y^2z^{^4}}=2xyz^2$

$x^2y^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2x^2yz$

Cộng theo vế và rút gọn: $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2$

$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-xy^2z-xyz^2\ge0\left(đpcm\right)$

Câu trả lời:

Áp dụng bđt AM-GM:

$x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xy^2z$

$y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^2y^2z^{^4}}=2xyz^2$

$x^2y^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2x^2yz$

Cộng theo vế và rút gọn: $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2$

$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-x^2yz-xy^2z-xyz^2\ge0\left(đpcm\right)$

tth_new · Answer

$\left(xy-yz\right)^2=x^2y^2-2xy^2z+y^2z^2\ge0$

$\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2\ge2xy^2z$

Thiết lập hai BĐT còn tại tương tự và cộng theo vế và chia cho 2:

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy$

Chuyển vế ta có đpcm.