Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn xem lại đề nhé :)
Thay 1 bằng xy + yz + zx được :
\(1+y^2=xy+yz+zx+y^2=x\left(y+z\right)+y\left(y+z\right)=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
Tương tự : \(1+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\), \(1+z^2=\left(x+z\right)\left(z+y\right)\)
Suy ra \(Q=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right).\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right).\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right).\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}=x\left|y+z\right|+y\left|x+z\right|+z\left|x+y\right|\)
\(=2\left(xy+yz+zx\right)=2\)(vì x,y,z > 0)
Ta có A = 2018.2020 + 2019.2021
= (2020 - 2).2020 + 2019.(2019 + 2)
= 20202 - 2.2020 + 20192 + 2.2019
= 20202 + 20192 - 2(2020 - 2019) = 20202 + 20192 - 2 = B
=> A = B
b) Ta có B = 964 - 1= (932)2 - 12
= (932 + 1)(932 - 1) = (932 + 1)(916 + 1)(916 - 1) = (932 + 1)(916 + 1)(98 + 1)(98 - 1)
= (932 + 1)(916 + 1)(98 + 1)(94 + 1)(94 - 1)
= (932 + 1)(916 + 1)(98 + 1)(94 + 1)(92 + 1)(92 - 1)
(932 + 1)(916 + 1)(98 + 1)(94 + 1)(92 + 1).80
mà A = (932 + 1)(916 + 1)(98 + 1)(94 + 1)(92 + 1).10
=> A < B
c) Ta có A = \(\frac{x-y}{x+y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}< \frac{x^2-y^2}{x^2+xy+y^2}=B\)
=> A < B
d) \(A=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^2-y^2}=\frac{\left(x+y\right)^3}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2}{x-y}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x-y}< \frac{x^2-xy+y^2}{x-y}=B\)
=> A < B
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(VT\ge3^2\cdot\sqrt[3]{xyz\cdot\frac{1}{xyz}}=9=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
Xét vế 1 ta có: \(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\) \(=\frac{yz+yx}{xz}+\frac{z+x}{y}\)
\(=\frac{y^2z+y^2x+x^2z+xz^2}{xyz}\)nhóm hạng tử 1 với 4,2 với 3 trên tử ta được:
\(=\frac{z\left(y^2+xz\right)+x\left(y^2+xz\right)}{xyz}\)\(=\frac{\left(z+x\right)\left(y^2+xz\right)}{xyz}=\frac{z+x}{zx}\times\frac{y^2+xz}{y}\)(1);
Xét vế 2 ta có: \(=1+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+1=2+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\)nhân 2 đa thức với nhau:
\(=\frac{2xz}{xz}+\frac{x^2+z^2}{xz}\)\(=\frac{x^2+2xz+z^2}{xz}\)\(=\frac{\left(x+z\right)^2}{xz}=\frac{z+x}{xz}\times\frac{z+x}{1}\)(2)
Từ (1) và (2),ta có: vế 1 = vế 1; mà\(\frac{y^2+xz}{y}< y+\frac{xz}{y}< x+z\)
Suy ra điều phải chứng minh...
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 sô dương ta có
\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}=3xy\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)
tương tự
\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\left(2\right);\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\left(3\right)\)
mặt khác \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\ge3\sqrt{3}\left(4\right)\)
Cộng các BĐT 1,2,3,4 ta đc đpcm
Đẳng thức xảy ra khi (1) (2) (3) (4) là các đẳng thức <=> x=y=z=1
nguồn : ĐH 2005A-db1
mình trả lời r mà sao chưa hiện ra thế nhỉ ??