\(\ge\)3abc(a+b+c)

">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 5 2017

ta co: (ab+bc+ac)2 - 3abc(a+b+c) = a2b2+ b2c2 + a2c2 + 2a2bc + 2b2ac+ 2c2ab- 3a2bc- 3b2ac- 3c2ab.

=a2b2+ b2c2 + a2c2- a2bc- b2ac-c2ab.

=>cm: a2b2+ b2c2 + a2c2- a2bc- b2ac- c2ab >= 0

<=> 2(a2b2+ b2c2 + a2c2- a2bc- b2ac- c2ab) >=0

<=> (ab- ac)2 + (ab- bc)2 + (bc- ac)2 >=0 (luon dung voi moi a,b,c)

=> dpcm.

30 tháng 12 2022

3: =>a^3+b^3+c^3>=3abc

=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc>=0

=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)>=0

=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac>=0

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0

=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0(luôn đúng)

26 tháng 2 2020

Có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\\b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\\c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow VT\ge a^2.\frac{b+c}{2}+b^2.\frac{c+a}{2}+c^2.\frac{a+b}{2}\ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}=VP\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

30 tháng 12 2022

3: =>a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2>=a^2c^2+2abcd+b^2d^2

=>a^2d^2-2abcd+b^2c^2>=0

=>(ad-bc)^2>=0(luôn đúng)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 6 2018

Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\((a^2+2c^2)(1+2)\geq (a+2c)^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{a^2+2c^2}\geq \frac{a+2c}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\geq \frac{a+2c}{\sqrt{3}ac}=\frac{ab+2bc}{\sqrt{3}abc}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}\geq \frac{ac+2ab}{\sqrt{3}abc}\\ \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}\geq \frac{bc+2ac}{\sqrt{3}abc}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế các BĐT trên thu được:

\(\text{VT}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{ab+2bc+ac+2ab+bc+2ac}{abc}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3(ab+bc+ac)}{abc}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{3abc}{abc}=\sqrt{3}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 6 2018

Bài 2: Bài này sử dụng pp xác định điểm rơi thôi.

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(24a^2+24.(\frac{31}{261})^2\geq 2\sqrt{24^2.(\frac{31}{261})^2a^2}=\frac{496}{87}a\)

\(b^2+(\frac{248}{87})^2\geq 2\sqrt{(\frac{248}{87})^2.b^2}=\frac{496}{87}b\)

\(93c^2+93.(\frac{8}{261})^2\geq 2\sqrt{93^2.(\frac{8}{261})^2c^2}=\frac{496}{87}c\)

Cộng theo vế:

\(B+\frac{248}{29}\geq \frac{496}{87}(a+b+c)=\frac{496}{87}.3=\frac{496}{29}\)

\(\Rightarrow B\geq \frac{496}{29}-\frac{248}{29}=\frac{248}{29}\)

Vậy \(B_{\min}=\frac{248}{29}\). Dấu bằng xảy ra khi: \((a,b,c)=(\frac{31}{261}; \frac{248}{87}; \frac{8}{261})\)

5 tháng 1 2017

Câu 2)

Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{b+1+a+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)

Ta có \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\left(a+1\right)b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{ab+b+a+1}\ge\frac{4}{3}\)

Ta có \(a+b=1\)

\(\Rightarrow\frac{3}{ab+2}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Leftrightarrow9\ge4\left(ab+2\right)\)

\(\Rightarrow9\ge4ab+8\)

\(\Rightarrow1\ge4ab\)

Do \(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (đpcm )

5 tháng 1 2017

Câu 3)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

\(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)

\(\Rightarrow a+b+c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc}\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (điều này luôn luôn đúng)

\(\Rightarrow\) ĐPCM

NV
19 tháng 2 2020

\(P=\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}\Rightarrow P^2=\frac{b^4c^4+c^4a^4+a^4b^4+2a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b^2c^2}\)

\(P^2\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)