K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DA
2
26 tháng 7 2020
Ta có : \(\frac{x}{4y^2+1}=x-\frac{4xy^2}{4y^2+1};\frac{y}{4x^2+1}=y-\frac{4x^2y}{4x^2+1}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
\(4y^2+1\ge4y;4x^2+1\ge4x\)
\(\Rightarrow x-\frac{4xy^2}{4y^2+1}+y-\frac{4x^2y}{4x^2+1}\ge x-\frac{4xy^2}{4y}+y-\frac{4x^2y}{4x}\)
\(=x+y-2xy=2xy\)
Đến đây ta áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(x+y=4xy\Leftrightarrow\frac{1}{xy}=\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\le4\Leftrightarrow2xy\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{4y^2+1}+\frac{y}{4x^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\4y^2=1\\4x^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}}\)
26 tháng 7 2020
Bạn trên đã chứng minh \(xy\ge\frac{1}{4}\) rồi nên mình xin phép không trình bày
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta dễ có:
\(LHS=\frac{x^2}{4xy^2+x}+\frac{y^2}{4x^2y+y}\)
\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)}\)
Ta cần đi chứng minh:
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge x+y\Leftrightarrow x+y\ge1\)
Điều này là hiển nhiên vì theo AM - GM ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}=1\)
Vậy ta có đpcm
DH
21 tháng 6 2017
Bài 1:
a, \(A=4x^2+4x+1\)
\(A=4x^2+2x+2x+1\)
\(A=2x.\left(2x+1\right)+\left(2x+1\right)\)
\(A=\left(2x+1\right)^2\)
Với mọi giá trị của \(x\in R\) ta có:
\(\left(2x+1\right)^2\ge0\)
Hay \(A\ge0\) với mọi giá trị của \(x\in R\).
Để \(A=0\)thì \(\left(2x+1\right)^2=0\Rightarrow2x=-1\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}\)
Vậy.....
b, \(B=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)
\(B=\left[\left(x-1\right).\left(x+6\right)\right]\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]\)
\(B=\left(x^2+6x-x+6\right).\left(x^2+3x+2x+6\right)\)
\(B=\left(x^2+5x+6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)
\(B=\left(x^2+5x+6\right)^2\)
\(B=\left(x^2+2,5x+2,5x+6,25-0,25\right)^2\)
\(B=\left[\left(x+2,5\right)^2-0,25\right]^2\)
Với mọi giá trị của \(x\in R\) ta có:
\(\left(x+2,5\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+2,5\right)^2-0,25\ge-0,25\)
\(\Rightarrow\left[\left(x+2,5\right)^2-0,25\right]^2\ge0,0625\)
Hay \(B\ge0,0625\) với mọi giá trị của \(x\in R\).
Để \(B=0,0625\) thì \(\left[\left(x+2,5\right)^2-0,25\right]^2=0,0625\)
\(\Rightarrow\left(x+2,5\right)^2-0,25=0,25\)
\(\Rightarrow x+2,5=0\Rightarrow x=-2,5\)
Vậy.......
Câu c làm tương tự!! Chúc bạn học tốt!!!
TN
21 tháng 6 2017
\(A=4x^2+4x+1=\left(2x+1\right)^2\ge0\)
Vậy GTNN của A là 0 khi \(\left(2x+1\right)^2=0\Rightarrow2x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}\)
\(B=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)
\(=\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)
\(=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\) \(=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\)
Vậy GTNN của B là -36 khi \(\left(x^2+5x\right)^2=0\Rightarrow x\left(x+5\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+5=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\) \(C=x^2-2x+y^2-4y+7=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)+3=\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+3\ge3\)
Vậy GTNN của C là 3 khi \(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
5 tháng 8 2017
Bài 2:
\(A=x^2+4y^2-2x+10-4xy-4y\)
\(=\left(x^2+4xy+4y^2\right)-2\left(x+2y\right)+10\)
\(=\left(x+2y\right)^2-2\left(x+2y\right)+10\)
Thay x + 2y = 5 vào biểu thức A ta được: \(A=5^2-2.5+10=25\)
\(B=\left(x^2+4xy+4y^2\right)-2\left(x+2y\right)\left(y-1\right)+y^2-2y+1\)
\(=x^2+4xy+4y^2-2xy+2x-4y^2+4y+y^2-2y+1\)
\(=x^2+2xy+y^2+2x+2y+1\)
\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1\)
Thay x + y = 5 vào biểu thức B ta được: \(B=5^2+2.5+1=25+10+1=36\)
\(C=x^2-y^2-4x=\left(x^2-4x+4\right)-y^2-4\)
\(=\left(x-2\right)^2-y^2-4\) \(=\left(x-y-2\right)\left(x-2+y\right)-4\)
Thay x + y = 2 vào C ta được: \(C=\left(x-2-y\right)\left(2-2\right)-4=0-4=-4\)
\(D=x^2+y^2+2xy-4x-4y-3\)
\(=\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)-3\) Thay x + y = 4 vào D ta được:
\(D=4^2-4.4-3=16-16-3=-3\)
5 tháng 8 2017
Bài 3:
a) \(N=-9x^2+12x-5=-\left(9x^2-12x+4\right)-1\)
\(=-\left(3x-2\right)^2-1\)
Do \(\left(3x-2\right)^2\ge0\) nên \(-\left(3x-2\right)^2-1< 0\)
Vậy N < 0
b) ghi đề cẩn thận lại đi, mk k hiểu
MT
0
13 tháng 7 2019
\(1.\)
\(a;A=-2x^2+4x-18\)
\(A=-2\left(x^2-4x+18\right)\)
\(A=-2\left(x^2-2.x.2+4+14\right)\)
\(A=-2\left(x-2\right)^2-14\le-14\)
Dấu = xảy ra khi : \(x-2=0\)
\(\Rightarrow x=2\)
Vậy Amax =-14 tại x = 2
Các câu còn lại lm tương tự........
14 tháng 7 2019
\(a-2x^2+4x-18\)
=-[(2x2-2x.2+4)+14]
=-[(2x-2)2+14]
=-(2x-2)2-14
Vì -(2x-2)2 bé hơn hoặc bằng 0 với mọi x nên -(2x-2)2-14 bé hơn hoặc bằng -14
Dấu "=" xảy ra khi x=1
Vậy GTLN là -14 tại x=1
Mấy bài khác tương tự nha bạn. Áp dụng hằng đẳng thức và trình bày như thế
bài 2 xem lại cách ra đề nha bạn
S
21 tháng 7 2019
\(A=x^2+x+2=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge0+\frac{7}{4}=\frac{7}{4}.\) Dâu bàng xay ra khi: \(x=\frac{-1}{2}\)
\(B=4x^2-4x-1=\left(4x^2-4x+1\right)-2=\left(2x-1\right)^2-2\ge0-2=-2\Rightarrow B_{min}=-2\) Dâu bàng xay ra: \(x=\frac{1}{2}\)
\(C=x^2+y^2+2x-4y+2=x^2+y^2+2x-4y+5-3=\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3=\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge0+0-3=-3\) Dâu bàng xay ra\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=2\end{matrix}\right.\)