Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
Đề phải cho \(x,y\) dương nữa!
Giải:
Ta có: \(xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\dfrac{1}{64}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Vậy ta cần chứng minh BĐT tương đương \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\dfrac{1}{8}\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\)
\(\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{4}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}\) \(=\dfrac{1}{8}\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4}\)
\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{yz\sqrt{x-1}}{xyz}+\dfrac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\dfrac{xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{y-2}=\dfrac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{z-3}=\dfrac{\sqrt{3\left(z-3\right)}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) (ĐPCM)
=>x+y>=2 căn xy
=>(căn x-căn y)^2>=0(luôn đúng)