NL
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NL
1
18 tháng 10 2020
Ta có:
Vì \(\frac{2}{3}< x< \frac{13}{2}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x-2>0\\10-x>0\\13-2x>0\end{cases}}\)
Khi đó: \(\frac{1}{3x-2}-\frac{1}{x-10}+\frac{1}{13-2x}\)
\(=\frac{1}{3x-2}+\frac{1}{10-x}+\frac{1}{13-2x}\) \(\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được:
\(\left(1\right)\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3x-2+10-x+13-2x}\)
\(=\frac{3^2}{21}=\frac{3}{7}\)
Vậy với \(\frac{2}{3}< x< \frac{13}{2}\) thì \(\frac{1}{3x-2}-\frac{1}{x-10}+\frac{1}{13-2x}\ge\frac{3}{7}\)
24 tháng 12 2017
tiếp tục câu 2,vì máy bị lỗi nên phải tách ra:
Ta có:\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+xz+yz\right)\right).\)
Dó đó:\(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)+2010\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^3.\)(2)
TỪ \(\left(1\right),\left(2\right)\)suy ra \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}.\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)
24 tháng 12 2017
2)Ta có:
\(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+xz+1340\right)>0\)
Tương tự ta có:\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0,z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)
Áp dụng svac-xơ ta có:
\(P=\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}.\)(1)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2019
Lời giải:
Bạn cứ nhớ công thức $\sqrt{x^2}=|x|$, rồi dùng điều kiện đề bài để phá dấu trị tuyệt đối là được
a)
\(\sqrt{16a^2}-5a=\sqrt{(4a)^2}-5a=|4a|-5a=4a-5a=-a\)
b)
\(3x+2-\sqrt{9x^2+6x+1}=3x+2-\sqrt{(3x)^2+2.3x.1+1^2}\)
\(=3x+2-\sqrt{(3x+1)^2}=3x+2-|3x+1|=3x+2-(3x+1)=1\)
c)
\(\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{7}=\sqrt{7+1+2.\sqrt{7}.\sqrt{1}}-\sqrt{7}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{7}+1)^2}-\sqrt{7}=|\sqrt{7}+1|-\sqrt{7}=\sqrt{7}+1-\sqrt{7}=1\)
d)
\(\sqrt{14-2\sqrt{13}}+\sqrt{14+2\sqrt{13}}=\sqrt{13+1-2\sqrt{13}}+\sqrt{13+1+2\sqrt{13}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{13}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{13}+1)^2}=|\sqrt{13}-1|+|\sqrt{13}+1|\)
\(=\sqrt{13}-1+\sqrt{13}+1=2\sqrt{13}\)
e)
\(2x-\sqrt{4x^2-4x+1}=2x-\sqrt{(2x-1)^2}=2x-|2x-1|=2x-(2x-1)=1\)
g)
\(|x-2|+\frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{x-2}=|x-2|+\frac{\sqrt{(x-2)^2}}{x-2}=|x-2|+\frac{|x-2|}{x-2}\)
\(=(x-2)+\frac{(x-2)}{x-2}=x-2+1=x-1\)
24 tháng 2 2017
Hint:\(x^2-3x+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\)
\(x^2-4x+3=\left(x-3\right)\left(x-1\right)\)
\(x^2-5x+4=\left(x-4\right)\left(x-1\right)\)
LV
15 tháng 6 2017
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
TN
15 tháng 6 2017
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
KK
9 tháng 2 2017
\(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số
\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+8xy+8yz+8xz}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
Xét \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{matrix}\right.\)
Cộng từng vế:
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow8\left(xy+yz+xz\right)\le8\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\frac{1}{30}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{30}\)
Vì \(\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{1}{30}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\) ( đpcm )
chịu chết
15 tháng 8 2017
Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{yz}}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{xz}}\)
CỘng theo vế 3 BĐT trên có:
\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
Khi x=y=z
15 tháng 8 2017
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(..........................\)
\(\frac{1}{\sqrt{99}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{10}=\frac{100}{10}=10\)